Matura z matematyki 2015 – Maj podstawowa

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.

Odpowiedź: C.

Wskazówka: Można dodawać lub odejmować liczby całkowite do stron nierówności. \[\begin{align} & -4\le x-1\le 4\quad \left| +1 \right. \\ & -3\le x\le 5 \\ \end{align}\]

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27},\ b={{\log }_{\frac{1}{4}}}64,\ c={{\log }_{\frac{1}{3}}}27\). Iloczyn abc jest równy

Odpowiedź: B.

Najlepiej zastosować definicję logarytmu i oddzielnie obliczyć wartości poszczególnych logarytmów.

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku jest równa

Odpowiedź: C.

\(1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{19}{100}\) – Pieniądze zabrane jako podatek
\(1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}\) – Pieniądze po odprowadzeniu podatku – zysk- odsetki
\(1000+1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}=1000\cdot \left( \begin{matrix} {} \\ {} \\ \end{matrix} \right.1\left. +\frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100} \right)\) – Kapitał + odsetki = Kwota możliwa do wypłaty

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla

Odpowiedź: B.

Podaną równość mnożymy po skosie jak proporcję:

Układ równań \(\left\{ \begin{matrix} x-y=3 \\ 2x+0,5y=4 \\ \end{matrix} \right.\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

Odpowiedź: B.

Suma wszystkich pierwiastków równania (x + 3)(x + 7)(x −11) = 0 jest równa

Odpowiedź: C.

\[\begin{align} & \left( x+3 \right)\,\left( x+7 \right)\,\left( x-11 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=-3\quad {{x}_{2}}=-7\quad {{x}_{3}}=11 \\ & Suma=-3+\left( -7 \right)+11=1 \\ \end{align}\]

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

Odpowiedź: D.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest

Odpowiedź: D.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem

Odpowiedź: B.

Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że

Odpowiedź: C.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x²+x+c. Jeżeli f(3)=4, to

Odpowiedź: A.

Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \[\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\]

Odpowiedź: A.

W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n), określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₃. Iloraz q tego ciągu jest równy

Odpowiedź: C.

Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy

Odpowiedź: D.

Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα

Odpowiedź: A.

Miara kąt wpisanego w okrąg jest o o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa.

Odpowiedź: C.

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α . Wtedy

Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3 .Zatem

Proste o równaniach: y=2mx−m²−1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla

Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3) . Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x. Wynika stąd, że

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

Rozwiąż nierówność

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że ********************************(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej

W układzie współrzędnych są dane punkty A = (−43,−12) , B = (50,19) . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16 . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym..