Matura z matematyki 2016 – Maj podstawowy

Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \(\frac{{{a}^{-2,6}}}{{{a}^{1,3}}}\) jest równy

Liczba \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 2\sqrt{2} \right)\) jest równa

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że

Równość \({{\left( 2\sqrt{2}-a \right)}^{2}}=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

Jedną z liczb, które spełniają nierówność −x⁵ + x³ − x < −2, jest

Proste o równaniach 2x−3y=4 i 5x−6y=7 przecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa

Dana jest funkcja liniowa \(f\left( x \right)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\) , gdzie x≠−5,

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1,2> jest równa

Funkcja f określona jest wzorem \(f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy \(f\left( -\sqrt[3]{3} \right)\) jest równa

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa \(\left( -\frac{3}{2} \right)\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

Z odcinków o długościach: 5,2a+1,a−1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

W układzie współrzędnych dane są punkty A=(a,6) oraz B=(7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M=(3,4) . Wynika stąd, że

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120° , a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Rozwiąż nierówność 2x²−4x>3x²−6x .

Rozwiąż równanie (4−x)(x²+2x−15)=0 .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że \(\left| \angle DEC \right|=\left| \angle BGF \right|=90{}^\circ\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n²+n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{{{A}_{0}}}\), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀=10⁻⁴cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50° . Oblicz kąty tego trójkąta.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.