Matura z matematyki 2013 – Maj podstawowy

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \( \left| {x + 4} \right| < 5 \) .

Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe

Liczba log100 – log₂8 jest równa

Rozwiązaniem układu równań \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + 3\,y = 3}\\{8x – 6y = 48}\end{array}} \right.\) jest para liczb

Punkt A = (0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f (x) = (m – 2)x + m – 3 . Stąd wynika, że

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = -3(x – 2)² + 4 jest punkt o współrzędnych

Dla każdej liczby rzeczywistej x , wyrażenie 4x² – 12x + 9 jest równe

Prosta o równaniu \( f(x) = \frac{2}{m}x + 1\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(f(x) = – \frac{3}{2}x – 1\) . Stąd wynika, że

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b .

Jakie znaki mają współczynniki a i b ?

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{2} \le \frac{{2x}}{3} + \frac{1}{4}\) jest

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y = f (x) określonej dla x =< -7,4>.

Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Ciąg (27, 18, x + 5) jest geometryczny. Wtedy

Ciąg (a_n) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a₃ = 10 i a₄ = 14 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \({\rm{sin }}\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) . Wartość wyrażenia \({\cos ^2}\alpha – 2\) jest równa

Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku).

Miara kąta \(\alpha\) jest równa

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x²+3)=0 jest równa

Punkty A = (-1,2) i B = (5,-2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy

Punkt S=(-4, 7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17, 12). Zatem punkt P ma współrzędne

Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)² + (y-2)² = 9 oraz x² + y² = 10 jest równa

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy

Liczba \(\frac{{\sqrt {50} – \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 }}\) jest równa

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa \(28\sqrt 3 \). Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Rozwiąż równanie \({x^3} + 2{x^2} – 8x – 16 = 0\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) . Oblicz wartość wyrażenia \({\sin ^2}\alpha – 3{\cos ^2}\alpha \)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x+y+z=0, prawdziwa jest nierówność \(xy + yz + zx \le 0\). Możesz skorzystać z tożsamości \({(x + y + z)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2xz + 2yz\).

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x= < -7,8>.

Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji f

b) zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0 .

Rozwiąż nierówność \(2{x^2} – 7x + 5 \ge 0\)

Wykaż, że liczba \({6^{100}} – 2 \cdot {6^{99}} + 10 \cdot {6^{98}}\) jest podzielna przez 17.

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.