Matura z matematyki 2009 – Maj podstawowa

Funkcja f określona jest wzorem \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 3\quad \,\,dla\;\quad x < 2\quad \;}\\{\;\;\quad 1\quad \quad dla\;\quad 2 \le x \le 4}\end{array}} \right.\)

a) Uzupełnij tabelę:

b) Narysuj wykres funkcji f .

c) Podaj wszystkie liczby całkowite x , spełniające nierówność \(f\left( x \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }} – 6{\rm{ }}.\)

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona m, a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n .

Wykres funkcji f danej wzorem f (x) = -2x² przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g .

a) Rozwiąż nierówność f (x) + 5 < 3x .

b) Podaj zbiór wartości funkcji g .

c) Funkcja g określona jest wzorem \(g\left( x \right) = – 2{x^2} + bx + c.\) Oblicz b i c.

Odpowiedź do punktu b)

Odpowiedź do punktu c)

Wykaż, że liczba \({3^{54}}\) jest rozwiązaniem równania \({243^{11}} – {81^{14}} + 7x = {9^{27}}.\)

Wielomian W dany jest wzorem \(W(x) = {x^3} + a{x^2} – 4x + b.\)

a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy \[P(x) = {x^3} + \left( {2a + 3} \right){x^2} + \left( {a + b + c} \right)x – 1.\]

b) Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Odpowiedź do punktu a)

Odpowiedź do punktu b)

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \(\alpha .\)

a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \(\sin \alpha – tg\alpha < 0.\)

b) Dla \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) oblicz wartość wyrażenia \({\cos ^3}\alpha + \cos \alpha \cdot {\sin ^2}\alpha .\)

Odpowiedź do punktu a)

Odpowiedź do punktu b)

Dany jest ciąg arytmetyczny \(\left( {{a}_{n}} \right)\) dla \(n \ge 1\) w którym \({a_7} = 1,\quad {a_{11}} = 9.\)

a) Oblicz pierwszy wyraz \({a_1}\) i różnicę r ciągu \(\left( {{a}_{n}} \right)\).

b) Sprawdź, czy ciąg \(\left( {{a_7},{a_8},{a_{11}}} \right)\)jest geometryczny.

c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu \(\left( {{a}_{n}} \right)\) miała wartość najmniejszą.

Odpowiedź do punktu b)

Odpowiedź do punktu c)

W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18 , a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Punkty B = (0,10) i O = (0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym \( \left| \sphericalangle OAB \right|=90{}^\circ \). Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu \(y = \frac{1}{2}x\,.\) Oblicz współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.

b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze \(30^\circ .\)

a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od \(18\sqrt 3 \). Odpowiedź uzasadnij.