Matura z matematyki 2014 – Maj podstawowa

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

Wskaż ten układ.

Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to

Wartość wyrażenia \(\frac{2}{{\sqrt 3 – 1}} – \frac{2}{{\sqrt 3 + 1}} \) jest równa

Suma \({\log _8}16 + 1\) jest równa

Wspólnym pierwiastkiem równań \( \left( {{x^2} – 1} \right)\;\left( {x – 10} \right)\;\left( {x – 5} \right) = 0\) oraz \( \frac{{2x – 10}}{{x – 1}} = 0\) jest liczba

Funkcja liniowa \( \;f\left( x \right) = \left( {{m^2} – 4} \right)\,x + 2\; \) jest malejąca, gdy

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.

Funkcja f jest określona wzorem

Punkt C = (0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y = 2x – 4 . Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.

Dla każdej liczby x , spełniającej warunek \( – 3 < x < 0 \), wyrażenie \(\frac{{\left| {x + 3} \right| – x + 3}}{x}\) jest równe

Pierwiastki x₁, x₂ równania 2(x + 2)(x – 2) = 0 spełniają warunek

Liczby 2, -1, -4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n ≥ 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

Jeżeli trójkąty ABC i A’B’C’ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25cm² i 50cm², to skala podobieństwa \(\frac{{A’B’}}{{AB}}\) jest równa

Liczby: x – 2, 6, 12 , w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa

Jeżeli \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\;tg\alpha = \frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{{3\,\cos \alpha – 2\sin \alpha }}{{\sin \alpha – 5\cos \alpha }}\) jest równa

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x + 2)² + ( y – 3)² = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60° i ramieniu długości \(2\sqrt 3 \)

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa ⁴/₉ długości okręgu, ma miarę

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1) = 2 . Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest

Liczba \({\left( {\frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{729}} + \sqrt[4]{{256}} + 2} \right){\,^0}}}} \right)^{ – 2}}\) jest równa.

Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=-2^x-2 , należy punkt

Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A’ – zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 · P(A’), to

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

Mediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas

Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x² + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (4,0) . Oblicz wartości współczynników b i c.

Rozwiąż równanie: 9x³ + 18x² – 4x – 8 = 0 .

Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k² przez 7 jest równa 5.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej x≠0 .

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.

b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x) = f( x – 3).

Ze zbioru liczb { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30° . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.