Matura z matematyki 2006 – Maj podstawowa

Dane są zbiory: \(A = \left\{ {\,x \in R:\left| {x – 4} \right| \ge 7} \right\}\,,\;B = \left\{ {\,x \in R:{x^2} > 0} \right\}\,.\) Zaznacz na osi liczbowej:
a) zbiór A,
b) zbiór B,
c) zbiór C = B \ A.

W wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.

Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.

a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła.
b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \({a_1} = 12,\;{a_3} = 27\,.\)
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \({a_n},\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\,.\)
c) Oblicz wyraz \({a_6}.\)

Wiedząc, że \({0^\circ} \le \alpha \le 360^\circ ,\;\,\sin \alpha < 0\;\,oraz\;4tg\alpha = 3{\sin ^2}\alpha + 3{\cos ^2}\alpha \)
a) oblicz tg α ,
b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.

Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki \({P_2}\,.\)

Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01 m.

Dana jest funkcja \(f\left( x \right) = – {x^2} + 6x – 5.\)
a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f\left( x \right) \ge 0\,.\)

Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ .\)
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia \(1{m^2}\) potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.

Liczby 3 i –1 są pierwiastkami wielomianu \(W\left( x \right) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + 30.\)
a) Wyznacz wartości współczynników a i b.
b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.