Matura z matematyki 2008 – Maj podstawowa

Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y = f ( x) .

Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,
b) podaj wartość funkcji f dla argumentu \(x = 1 – \sqrt {10} ,\)
c) wyznacz równanie prostej BC ,
d) oblicz długość odcinka BC .

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i \(n \ge 3\)
wyraża się wzorem \(P\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 3} \right)}}{2}\)
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy
większa od liczby boków.
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:
Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.
Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiąż równanie \({4^{23}}x – {32^9}x = {16^4} \cdot {\left( {{4^4}} \right)^4}\). Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci \({2^k}\), gdzie k jest liczbą całkowitą.

Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.

Nieskończony ciąg liczbowy \(\left( {{a_n}} \right)\) jest określony wzorem \({a_n} = 2 – \frac{1}{n},\quad n = 1,2,3…\quad .\)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \(\left( {{a_n}} \right)\) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg \(\left( {{a_2},{a_7},x} \right)\) jest arytmetyczny. Oblicz x.

Prosta o równaniu 5x + 4y −10 = 0 przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35 .

Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45° . Oblicz wysokość tego trapezu.

Dany jest wielomian \(W(x) = {x^3} – 5{x^2} – 9x + 45.\)
a) Sprawdź, czy punkt A = (1, 30) należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f (x) = (2x +1)(x − 2) w przedziale \(\left\langle { – 2,2} \right\rangle .\)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem \(h\left( x \right) = \frac{a}{x}\quad dla\;x \ne 0\).
Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P = (2,5).
a) Oblicz wartość współczynnika a .
b) Ustal, czy liczba h(π) − h(−π) jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność h( x) > 5.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się \(\frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\) gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem β . Oblicz cosβ i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość β z dokładnością do 1° .

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:
a) A – w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.
b) B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9.
c) C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.