Równanie kwadratowe - Przykłady i zadania - MatFiz24.pl

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe rozwiązujemy bazując na wiedzy z wyznaczania miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Zatem, kiedy mamy dwa, kiedy jedno, a kiedy nie mamy miejsc zerowych? Oczywiście zależy to od znaku delty – patrz artykuł: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Równania kwadratowe to dość obszerny temat powiązany z funkcja kwadratową. Jeśli chcesz rozwiązać więcej równań kwadratowych, zapraszam do szerszego ich omówienia w zadaniach i przykładach.

Równania kwadratowe – Przykłady i zadania

Rozwiąż równanie kwadratowe i wykorzystaj najważniejsze wzory:

Równanie kwadratowe wzory

Korzystanie z wymienionych wzorów nie jest jedyną metodą rozwiązywania równań kwadratowych. Niektóre przykłady można znacznie szybciej rozwiązać korzystając, np. ze wzorów skróconego mnożenia.

Należy zauważyć, że pierwiastki równania kwadratowego są punktami przecięcia się paraboli z osią X. Jak widzisz na rysunku wyżej mogą występować jedno, dwa lub brak punktów wspólnych wykresu z osią X, a tym samym może nie być pierwiastków równania kwadratowego.

W literaturze są zazwyczaj podane wzory na dwa pierwiastki rzeczywiste, tak jak pokazuje prezentacja wyżej. Osobiście nie przywiązuję do tego uwagi, który wzór jest pierwszy, a który to drugi. Jak rozwiązujemy równanie kolejność obliczonych pierwiastków nie jest ważna. Stąd w zadaniach bywa, że oznaczyłem \({{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}\) , a \({{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}\)

Jak rozwiązywać równania kwadratowe w zadaniach?

Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe: \({{x}^{2}}+2x+1=0\)

Rozwiązanie:

Równanie kwadratowe z jednym pierwiastkiem rzeczywistym
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym przykładzie delta jest równa zero, więc stosujemy wzór na jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zauważamy, że dane równanie kwadratowe można również rozwiązać wykorzystując wzór skróconego mnożenia: \({{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\) Wówczas otrzymujemy: \[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x+1=0 \\ & {{\left( x+1 \right)}^{2}}=0 \\ & x=-1 \\ \end{align}\] Jest to szybka i krótka metoda, ale nie zawsze każdy to zauważy.

Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}+4x+3=0\)

Rozwiązanie:

Równanie kwadratowe przykład
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Zwłaszcza na początku nauki o równaniach kwadratowych warto wypisać współczynniki trójmianu kwadratowego a, b, c. Dalej wstawiamy współczynniki do tzw. delty, czyli do wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Po obliczeniu delty patrzymy na jej znak:

  • Δ > 0 masz 2 pierwiastki rzeczywiste
  • Δ = 0 masz 1 pierwiastek rzeczywisty
  • Δ < 0 brak pierwiastków rzeczywistych
Dalej jeśli delta jest nieujemna, stosujesz odpowiednie wzory.
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}+3 x-4=0\)

Rozwiązanie:

Równanie kwadratowe z dwoma pierwiastkami
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}+6x+8=0\)

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}+x-6=0\)

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}=-x+2\)

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu
  • Ucz się matematyki już od 15 zł. Instrukcja premium
  • Uzyskaj dostęp do całej strony MatFiz24.pl
  • Wesprzyj rozwój filmów matematycznych
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
Pełny dostęp do zawartości MatFiz24.pl na 15 dni za 15.00 zł.
Pełny dostęp do zawartości MatFiz24.pl na 30 dni za 28.00 zł.
Pełny dostęp do zawartości MatFiz24.pl na 45 dni za 38.00 zł.

Kup abonament na 15 dni

15.00 PLN Przelew Dotpay

Podaj swój email, aby zakupić dostęp do wszystkich treści

/
Odblokuj na 15 dni

Dokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem serwisu MatFiz24.pl.

Kup abonament na 30 dni

28.00 PLN Przelew Dotpay

Podaj swój email, aby zakupić dostęp do wszystkich treści

/
Odblokuj na 30 dni

Dokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem serwisu MatFiz24.pl.

Kup abonament na 45 dni

38 PLN Przelew Dotpay

Podaj swój email, aby zakupić dostęp do wszystkich treści

/
Odblokuj na 45 dni

Dokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem serwisu MatFiz24.pl.

Anuluj
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe zupełne: \({{x}^{2}}-4x+5=0\)

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe: \({{x}^{2}}+2x+1=0\)

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe: \(-14x+49=-{{x}^{2}}\)

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.
Zadanie.

Rozwiąż równanie kwadratowe: \({{x}^{2}}+x+\frac{1}{4}=0\)

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.
Równanie kwadratowe
5 (100%) 2 votes

Bądź na bieżąco z MatFiz24.pl 
Close