Nierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(-6{{x}^{2}}+x-1<0\)

Rozwiązanie nierówności kwadratowych sprowadza się w zasadzie do naszkicowania paraboli. Wystarczą same miejsca zerowe, a następnie określasz czy parabola jest skierowana ramionami do góry (a > 0) czy do dołu (a < 0) – o tym decyduje współczynnik przy x². Patrząc na znak nierówności określasz, w których przedziałach wykres funkcji jest nad osią X (wartości funkcji są dodatnie), a w których pod osią X (wartości funkcji są ujemne).

W przykładzie wyżej mamy dość osobliwy przypadek, kiedy nie ma miejsc zerowych, ponieważ delta jest mniejsza od zera. Współczynnik przy x² jest ujemny więc parabola jest skierowana ramionami do dołu. Rysujemy więc przybliżony (a nie dokładny) wykres funkcji kwadratowej. Patrzymy teraz na znak nierówności „<” ,który informuje nas, że rozwiązaniami są ujemne wartości funkcji – te pod osią X. W tym wypadku cały wykres jest pod osią X. Dlatego rozwiązaniami są wszystkie liczby rzeczywiste.

Rozwiąż nierówność kwadratową: \({{x}^{2}}+9x+18>0\)

Krok 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego. Nierówności kwadratowe rozwiązujesz obliczając na początku pierwiastki trójmianu kwadratowego. Można to zrobić na kilka sposobów:

• korzystając ze znanych wzorów wyznaczasz deltę, następnie pierwiastki trójmianu kwadratowego
• możesz przy pomocy wzorów skróconego mnożenia doprowadzić trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej, a patrząc na postać iloczynową już łatwo określić pierwiastki nierówności
• możesz w nierównościach niezupełnych wyłączyć x przed nawias otrzymując w prosty sposób postać iloczynową, a tym samym pierwiastki trójmianu kwadratowego

Wzór na deltę i miejsca zerowe(pierwiastki)

Krok 2. Zaznaczenie pierwiastków w układzie współrzędnych. Mając wyznaczone pierwiastki trójmianu kwadratowego zaznaczasz je w układzie współrzędnych.

Krok 3. Rysujesz parabolę ramionami skierowanymi do dołu lub do góry.

Jeśli współczynnik „a” trójmianu kwadratowego x² + bx + c = 0 jest:

• a > 0 to ramiona paraboli są skierowane do góry
• a < 0 to ramiona paraboli są skierowane do dołu

Krok 4. Patrząc na znak nierówności zaznaczasz na rysunku przedział rozwiązań nierówności.

Jeśli wzór wyrażający trójmian kwadratowy: x² + bx + c jest większy od 0 wówczas zaznaczasz tę część osi X, w której wykres jest powyżej osi X.

Jeśli trójmian kwadratowy: x² + bx + c jest mniejszy od 0 to zakreskowujemy tą część osi, której wartości są ujemne, czyli wykres leży pod osią X.

Pamiętamy również o zaznaczeniu miejsc zerowych:

• kółkami zamalowanymi jeśli występuje znak nierówności ≥ lub ≤
• kółkami pustymi jeśli masz znaki < lub >

Warto wspomnieć, że znaki ≥ lub ≤ powodują domknięcie przedziałów rozwiązania danej nierówności, zaś znaki < lub > powodują otwarcie tychże przedziałów w wybranych punktach.

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(3{{x}^{2}}-75<0\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \({{x}^{2}}-5x\ge 0\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(-{{x}^{2}}+4x<-5\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(2{{x}^{2}}\le 0\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(4<-{{x}^{2}}-4x\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \({{x}^{2}}>2 x-1\)

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(-6{{x}^{2}}+x-1<0\)