Funkcja liniowa

Co to jest funkcja liniowa? Jak narysować wykres funkcji? Czym jest dziedzina i przeciwdziedzina? Dowiesz się, jak wygląda postać kierunkowa funkcji liniowej i czym jest współczynnik kierunkowy. W praktycznych zadaniach zobaczysz wzory i nauczysz się wyznaczać prostą prostopadłą i prostą równoległą.

W kolejnych przykładach dowiesz się, jak obliczać miejsce zerowe funkcji liniowej. Poznasz pojęcie monotoniczności. Zapraszam Cię do przerobienia sprawdzianu. Sprawdzian zawiera zadania i odpowiedzi w postaci materiałów wideo, które pomogą Ci opanować najważniejsze własności funkcji liniowej.

Co to jest funkcja liniowa?

Definicja funkcji liniowej:

Funkcję f nazywamy funkcją liniową, jeżeli określona jest wzorem : f(x) = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

Omówienie pojęcia: Co to jest funkcja liniowa?

Wykres funkcji liniowej

Wykres funkcji liniowej przedstawia linia prosta. Szczególnym przykładem jest wykres funkcji stałej, który jest również linią prostą równoległą do poziomej osi X.

W celu narysowania wykresu funkcji liniowej możesz posłużyć się tabelką.

Omówienie pojęcia: Wykres funkcji liniowej

Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zbiór wartości funkcji liniowej zwykle jest zbiorem liczb rzeczywistych, wyjątkiem oczywiście jest funkcja stała. Jej wartość określa wzór funkcji. Na przykład funkcja stała określona wzorem y = 3 ma jedną wartość funkcji, mianowicie liczbę 3.

Omówienie pojęcia: Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Współczynnik kierunkowy i postać kierunkowa funkcji liniowej

Postać kierunkowa funkcji liniowej: y = ax + b

Na podstawie postaci kierunkowej możemy wyznaczyć wiele własności funkcji liniowej.

Współczynnik kierunkowy „a” decyduje o kącie nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi X.

Omówienie pojęcia: Współczynnik kierunkowy i postać kierunkowa funkcji liniowej

Prosta równoległa i prosta prostopadła

Proste równoległe mają bardzo podobny wzór funkcji. Obie funkcje mają identyczny współczynnik kierunkowy a.

Jeżeli funkcja ma współczynnik kierunkowy a, to wszystkie funkcje prostopadłe do niej będą miały współczynnik kierunkowy:\(-\frac{1}{a}\). Można powiedzieć, że współczynniki kierunkowe takich funkcji są względem siebie przeciwną odwrotnością.

Omówienie pojęcia: Prosta równoległa i prosta prostopadła

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty jest przedstawiane zazwyczaj w dwóch równoważnych postaciach. Zobacz wzory.

Omówienie pojęcia: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej przedstawionej w sposób graficzny wyznaczamy, odczytując współrzędną x-ową punktu przecięcia się wykresu funkcji liniowej z osią X.

Uwaga: funkcja stała zazwyczaj nie ma miejsca zerowego, ponieważ nie ma punktów leżących na osi X. Szczególnym przykładem jest funkcja stała o wzorze y = 0, która ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. W zasadzie wszystkie punkty tej funkcji są miejscami zerowymi funkcji.

Miejsce zerowe funkcji liniowej możesz obliczyć na dwa sposoby.

Omówienie pojęcia: Miejsce zerowe funkcji liniowej

Monotoniczność funkcji liniowej

Monotoniczność funkcji liniowej z wykresu określamy, czytając wykres od lewej do prawej.

• Jeżeli wykres wznosi się to funkcja jest rosnąca
• Jeżeli wykres opada to funkcja jest malejąca
• Jeżeli wykres jest równoległy do osi X wówczas funkcja liniowa jest stała

Omówienie pojęcia: Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa, a układ równań

Na pewno pamiętasz układ równań oznaczony, nieoznaczony (tożsamościowy) i sprzeczny.

Układ równań oznaczony ma jedno rozwiązanie, a graficznie są to dwie funkcje liniowe, które przecinają się w jednym punkcie. Współrzędne tego punktu są właśnie rozwiązaniem układu równań.

Układ równań nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Graficznie są to dwie funkcje liniowe, której wykresy pokrywają się ze sobą. Stąd nieskończenie wiele punktów wspólnych, czyli rozwiązań.

Układ równań sprzeczny nie ma rozwiązań. Graficznie są to dwa wykresy funkcji liniowej równoległe do siebie – nie mające punktów wspólnych.

Omówienie pojęcia: Funkcja liniowa, a układ równań

Funkcja liniowa – sprawdzian

Zdaj sprawdzian z funkcji liniowej na 5! Czy wiesz, że funkcja liniowa jest pewniakiem do matury z matematyki?

Omówienie pojęcia: Funkcja liniowa – sprawdzian