Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny jest dość łatwy do rozpoznania na podstawie obliczeń.

Układ równań jest oznaczony, gdy podczas obliczeń otrzymasz jedno rozwiązanie np.: \(\left\{ \begin{matrix} x=3 \\ y=2 \\ \end{matrix} \right.\)

Układ równań jest nieoznaczony (tożsamościowy), gdy podczas obliczeń otrzymasz tożsamość np.: 0=0, 1=1, 3=3 itp. Z lewej strony i prawej strony równania otrzymujesz identyczne liczby najczęściej 0=0. Taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ równań jest sprzeczny, gdy podczas obliczeń otrzymujesz sprzeczność – „fałsz matematyczny” np.: 0≠3, 4≠0, 5≠6 itp. Występuje tu brak rozwiązań.

Interpretacja graficzna układu równań

Interpretacją układu równań w układzie współrzędnych jest para prostych. Układ równań posiada dwa równania. Każde z nich można narysować w układzie współrzędnych jako prostą.

W pierwszej kolumnie jest układ oznaczony.

Podczas obliczeń otrzymujemy parę liczb: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 2} \end{array}} \right.\). Liczby x=1 i y=2 są jednocześnie współrzędnymi punktu przecięcia dwóch prostych, których równania są określone przez układ równań. Zatem punkt przecięcia się prostych jest rozwiązaniem graficznym układu równań.

W drugiej kolumnie jest układ nieoznaczony.

Gdybyś wykonał rachunki wyjdzie nam tożsamość: 0=0. Pozornie równania w tym układzie wyglądają inaczej, ale tak na prawdę można doprowadzić oba równania do tej samej postaci. A skoro równania opisujące proste są identyczne zatem interpretacją układu nieoznaczonego są dwie proste leżące jedna na drugiej (będące tą samą prostą). W takim przypadku mamy nieskończenie wiele punktów wspólnych między tymi dwiema prostymi. Stąd układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W trzeciej kolumnie jest układ sprzeczny.

Podczas obliczeń otrzymałbyś sprzeczność 0≠-5. W układzie współrzędnych taki układ równań prezentuje się w postaci dwóch prostych równoległych, które nie mają wspólnych punktów. Stąd układ sprzeczny nie ma rozwiązań.

Zadanie.

Rozwiąż układy równań i odpowiedz, który z nich jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny.

x

https://www.youtube.com/watch?v=gvqVN8c2wTU

Zobacz na stronie

Zobacz na YouTube

Równania w układach równań mogą być zapisane między innymi w:
1. Postaci ogólnej prostej Ax+By+C=0
2. Postaci kierunkowej y=ax+b

Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej
Układ dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej:
\[\left\{ \begin{matrix} {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0 \\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0 \\ \end{matrix} \right.\]

• jest oznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\)
• jest nieoznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\) W praktyce jedno z równań można doprowadzić do postaci drugiego równania tak, że \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} = {C_2}\)
• jest sprzeczny, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\)
W zadaniach matematycznych można jedno z równań sprowadzić do postaci drugiego tak, że będą się różnić się tylko liczbami, wyrazami wolnymi bez literek. Więc warunek można uprościć do \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} \ne {C_2}\)

Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej prostej:
Układ dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = {a_1}x + {b_1}}\\ {y = {a_2}x + {b_2}} \end{array}} \right.\]

• jest oznaczony, jeśli \({a_1} \ne {a_2}\), współczynniki \({b_1},{b_2}\) są dowolne.
• jest nieoznaczony, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} = {b_2}.\) W tego typu układach dwa równania są identyczne. Jeśli nie wyglądają tak samo to można przekształcić jedno z nich do postaci drugiego równania, aby otrzymać w końcu identyczne równania.
• jest sprzeczny, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} \ne {b_2}\). Układy sprzeczne posiadające równania w postaci kierunkowej różnią się tylko współczynnikiem „b”, a pozostała część równań jest identyczna.

Porównanie układu oznaczonego, nieoznaczonego i sprzecznego

Układ sprzeczny – brak rozwiązań

Układ nieoznaczony – wiele rozwiązań