Pierwiastki

Co to jest pierwiastek? Poznaj definicję i najważniejsze wzory. Zobacz, jak szacować pierwiastki w praktycznych zadaniach. Opanuj do perfekcji wyłączanie czynnika przed i pod znak pierwiastka. Dowiedz się jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki? W jaki sposób usuwać niewymierności z mianownika?

Zapraszam na szkolenie z potęgowania i pierwiastkowania. Kurs zawiera przydatne materiały wideo, które pomogą zrozumieć najważniejsze działania na pierwiastkach.

Definicja pierwiastka

Poniższy zapis czytamy:

„Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a równa się b, gdy b do potęgi n-tej jest równe a”

W tym zapisie:
n – stopień pierwiastka
a – liczba podpierwiastkowa
b – pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, wynik pierwiastkowania

Omówienie pojęcia: Definicja pierwiastka

Pierwiastki – wzory

Poznaj najważniejsze wzory na pierwiastki, które wykorzystasz do rozwiązywania zadań. Niektóre są silnie związane z potęgowaniem, ponieważ pierwiastkowanie jest działem odwrotnym do potęgowania.

Omówienie pojęcia: Pierwiastki – wzory

Pierwiastek z pierwiastka

Działania na pierwiastkach, w których występuje pierwiastek z pierwiastka wykonujemy obliczając najpierw pierwiastek wewnętrzny, a następnie po jego usunięciu pierwiastkujemy jeszcze raz usuwając pierwiastek, który pozostał, czyli ten zewnętrzny.

Omówienie pojęcia: Pierwiastek z pierwiastka

Szacowanie pierwiastków

Zanim zaczniesz wykonywać szacowanie pierwiastków sześciennych lub ujemnych, poznaj szacowanie pierwiastków kwadratowych.

Omówienie pojęcia: Szacowanie pierwiastków

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka zwłaszcza w początkowej fazie nauki oparte jest głównie na znajomości rozkładu liczby podpierwiastkowej na iloczyn liczb pierwszych.

Omówienie pojęcia: Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

I sposób omówię dla \(5\sqrt{2}\)

Liczbę stojącą przed znakiem pierwiastka „5” wpisujesz pod znak pierwiastka podnosząc ją jednocześnie do potęgi „2”, gdzie potęga „2” jest stopniem pierwiastka. Następnie mnożysz jeszcze wyrażenie przez liczbę, która stała pod pierwiastkiem, czyli mnożysz przez „2”.

Podsumujmy: \[5\sqrt{2}=\sqrt{{{5}^{2}}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\]

Omówienie pojęcia: Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

Mnożenie i dzielenie pierwiastków przez liczbę jest prostą i podstawową umiejętnością do nauczenia. Działania na pierwiastkach są wykorzystywane w innych działach matematycznych, dlatego warto raz na zawsze zrozumieć to zagadanienie.

Omówienie pojęcia: Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków najlepiej zrozumieć, rozwiązując przykładowe zadania. Zobacz, jakie to proste!

Omówienie pojęcia: Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Pierwiastek z potęgi

Wykonując działania na pierwiastkach pamiętaj, że głównym wzorem tutaj jest: \[\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\]

Z pewnością zauważyłeś, że powyższy wzór można uprościć do \(\sqrt{{{a}^{2}}}=a\) jeśli pracujemy na liczbach dodatnich.

Omówienie pojęcia: Pierwiastek z potęgi

Usuwanie niewymierności z mianownika

Rozpatrzmy usuwanie niewymierności z mianownika na podstawie przykładu \(\frac{4}{\sqrt{3}}\). Należy usunąć \(\sqrt{3}\) z mianownika. W tym celu całe wyrażenie należy pomnożyć przez liczbę „1”, a w zasadzie przez ułamek, którego licznikiem i mianownikiem jest \(\sqrt{3}\).

Otrzymujemy w tym momencie zapis \(\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\). Dalej mnożysz przez siebie liczniki i mianowniki, otrzymując wynik w usuniętym pierwiastkiem z mianownika: \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Omówienie pojęcia: Usuwanie niewymierności z mianownika

Potęga o wykładniku wymiernym, a pierwiastkowanie

Jeśli masz w potędze ułamek zwykły, to możesz wyrażenie zapisać w postaci pierwiastka. Stopniem pierwiastka jest mianownik potęgi, zaś licznik potęgi będzie stanowił potęgę liczby pod znakiem pierwiastka.

Omówienie pojęcia: Potęga o wykładniku wymiernym, a pierwiastkowanie