»  

Wzory skróconego mnożenia – Zadania i ćwiczenia

Poniżej przedstawiam najważniejsze wzory skróconego mnożenia. Ich znajomość na pewno przyda się podczas egzaminu gimnazjalnego i matury z matematyki!

\({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2 a b+{{b}^{2}}\) – Kwadrat sumy dwóch wyrażeń

\({\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2 a b + {b^2}\) – Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

\(\left( {a + b} \right) \cdot \left( {a – b} \right) = {a^2} – {b^2}\) – Różnica kwadratów dwóch wyrażeń

\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3{a^2}b + {b^3}\) – Sześcian sumy dwóch wyrażeń

\({\left( {a – b} \right)^{\;3}} = {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3}\) – Sześcian różnicy dwóch wyrażeń

\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right)\) – Suma sześcianów

\({a^3} – {b^3} = \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\) – Różnica sześcianów

\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 0 \end{array}} \right){a^n} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right){a^{n – 1}}b + … + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {n – 1} \end{array}} \right)a{b^{n – 1}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ n \end{array}} \right){b^n}\)
n -ta potęga sumy dwóch wyrażeń, inaczej dwumian Newtona
, gdzie \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\) – symbol Newtona

Trójkąt Pascala

Współczynniki we wzorach skróconego mnożenia możesz również wyznaczyć z „trójkąta Pascala”. Trójkąt Pascala Zauważ, że wierzchołek i boczne krawędzie tego trójkąta stanowią liczby „1”. Wewnętrzne liczby powstają przez dodanie dwóch liczb znajdujących się w górnym wierszu.

Przykładowe zadania ze wzorami skróconego mnożenia – rozwiązania

Zadanie.

Uprość wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Kwadrat sumy wzory skróconego mnożenia
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Wzór skróconego mnożenia podany wyżej to tzw. kwadrat sumy.

Pierwszy element został umieszczony w zielonym kubku, drugi w czerwonym. W celu wykorzystania wzoru skróconego mnożenia podanego w żółtej ramce musisz pierwszy element „x” podnieść do kwadratu. Następnie dodajesz do niego podwojony iloczyn pierwszego i drugiego elementu. Na koniec dodajesz kwadrat ostatniego elementu z nawiasu, czyli podnosisz liczbę „1” do kwadratu. W kolejnym kroku należy ewentualnie zredukować lub wymnożyć wyrażenia algebraiczne.

Z czasem wiele redukcji będziesz robić automatycznie w pamięci.

Uwaga: W tym lub innych przykładach możesz ominąć wzory skróconego mnożenia. W tym celu można kwadrat sumy rozpisać na dwa nawiasy i wymnożyć je ze sobą według zasady każdy z każdym. Zobacz: „Mnożenie sum algebraicznych”. (tu link do nadrzędnej strony: Mnożenie sum algebraicznych).

Zadanie.

Oblicz korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

\[{\left( {2x + 7} \right)^{\;2}} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Pewnie zauważyłeś, że zapis wzoru skróconego mnożenia zaczyna się podniesieniem do kwadratu pierwszego elementu: „2x”. W efekcie otrzymamy 4x2. Dalej myślę, że dasz radę. Jeśli nie, obejrzyj raz lub dwa film edukacyjny.

Zadanie.

Oblicz kwadrat sumy dwóch jednomianów.

\[{\left( {\sqrt 3 + 3y} \right)^{\;2}} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym filmie należy zauważyć, że podnosząc pierwszy jednomian do kwadratu możesz skorzystać z własności pierwiastka podniesionego do potęgi. Kwadrat likwiduje pierwiastek i otrzymujemy w efekcie samą liczbę „3”. Pozostałe obliczenia tłumaczę na filmie.

Zadanie.

Uprość wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Wzory skróconego mnożenia są bardzo pomocne. W powyższym przykładzie pokazuję jak obliczyć kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Pierwszy element został zaznaczony na niebiesko, drugi na czerwono. Patrząc na wzór w żółtej ramce podnosimy najpierw pierwszy jednomian „2” do kwadratu. Dalej odejmujemy podwojony iloczyn pierwszego jednomianu przez drugi. Na koniec dodajemy kwadrat ostatniego jednomianu.

Na początku warto dokładnie rozpisać wzór skróconego mnożenia. Z czasem pewne redukcje będziesz robić w pamięci. Powodzenia.

Zadanie.

Oblicz wyrażenie algebraiczne wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

\[{\left( {4x – 3} \right)^{\;2}} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Oblicz ze wzoru skróconego mnożenia.

\[{\left( {3x{y^3} – 2x} \right)^{\;2}} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym przykładzie pamiętaj, że jednomian \( 3x{y^3} \) traktujemy jako pierwszy element oznaczony we wzorze skróconego mnożenia: \({\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2 \cdot a \cdot b + {b^2}\) symbolem „a”. Na początku wzoru skróconego mnożenia jednomian \( 3x{y^3} \) podnosisz do kwadratu otrzymując: \({{\left( 3x{{y}^{3}} \right)}^{2}}\). Możesz tutaj skorzystać z własności potęgi iloczynu.

W kolejnym kroku odejmujesz podwojony iloczyn pierwszego elementu razy drugi element: \(-2\cdot 3x{{y}^{3}}\cdot 2x\).

Następnie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia dodajesz ostatni element z nawiasu podniesiony do kwadratu: \({{\left( 2x \right)}^{2}}\)

Na końcu wyrażenie algebraiczne możesz troszeczkę uprościć. Wymnażasz i podnosisz do potęgi.

Zadanie.

Wymnóż nawiasy.

Wzór skróconego mnożenia
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Powyższy przykład możesz rozwiązać wymnażając nawiasy przez siebie. Jednak lepszą metodą będzie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia. Warto zapamiętać, że jeśli wymnażasz dwa nawiasy, które różnią się tylko wewnętrznymi znakami, wówczas wynikiem jest różnica kwadratów jednomianów występujących w nawiasach.

Zadanie.

Wymnóż nawiasy.

\[\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\;\left( {3 – \sqrt 2 } \right) = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Wymnóż nawiasy.

\[\left( {x + 4y} \right)\;\left( {x – 4y} \right) = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Zamień wyrażenie algebraiczne na postać iloczynową.

\[{x^2} – 9 = \] \[36 – 4{x^2} = \] \[61 – 2{x^2} = \] \[36{x^2} + 84x + 49 = \] \[{x^2} + 4x + 4 = \] \[\frac{1}{9}{x^2} – \frac{1}{3}xy + \frac{1}{4}{y^2} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym zadaniu wzory skróconego mnożenia odgrywają kluczową rolę. Chcąc zamienić wyrażenie na postać iloczynową w trzech pierwszych przykładach stosujemy wzór: \[\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right) = {a^2} – {b^2}\] W pierwszym przykładzie zauważasz, że masz tak na prawdę różnice dwóch kwadratów, bo \({x^2} – 9 ={x^2} – {3^2} \) stąd już dość prosto zauważyć, ze można tę różnicę rozpisać na dwa nawiasy, na postać iloczynową \({x^2} – {3^2} = \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)\)

Ostatnie trzy przykłady wykorzystują wzór na kwadrat sumy, bądź różnicy. Spójrz na przykład \(36{x^2} + 84x + 49 \). Zauważasz, że pierwszy i ostatni jednomian to dwa kwadraty \({\left( {6x} \right)^2}\) oraz \({7^2}\), a środkowy jednomian jest podwojonym iloczynem pierwszego jednomianu przez drugi. Na tej podstawie w 4 i 5 przykładzie wykorzystujesz wzór: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\), zaś w ostatnim przykładzie \[{\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\]

Cały problem w tym zadaniu polega na zauważeniu, że nasze przykłady to prawa strona rozpisanego wzory skróconego mnożenia.

Skup się na znalezieniu dwóch kwadratów. Gdy je znajdziesz – pierwiastkuj je. Otrzymasz wówczas pierwszy i ostatni jednomian wzoru skróconego mnożenia.

Zadanie.

Doprowadź wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

\[{(2x – 0,2)^2} + (x – 0,1)(0,1 + x) = \] \[(2x – 1)(1 + 2x) – {(\sqrt 2 – 3{x^2})^2} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Doprowadź wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

\[ – 4(x – 2) + {(x + 5)^2} + (x – 3)(x + 3) = \] \[{(2x – y)^2} – (x – y)(x + y) – 3{(x + 2y)^2} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Doprowadź wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

\[{({x^{n + 1}} + 1)^{\;2}} = \] \[{(0,1{x^2} – {x^{1 – n}})^2} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Przed zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia przypomnij sobie potęgę iloczynu i ilorazu.

Zadanie.

Doprowadź wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

\[{\left( {\frac{1}{6}{x^{3n + 1}} \cdot {y^{n + 2}} + \frac{6}{5}{y^{5n}} \cdot {x^{1 – n}}} \right)^2} = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym zadaniu zasadniczą trudnością jest zauważenie dwóch rozbudowanych jednomianów wewnątrz nawiasów. Dalej stosujesz wzór skróconego mnożenia \[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\] Warto przypomnieć sobie tutaj jak potęgujemy jednomiany.

Zadanie.

Uprość wyrażenie algebraiczne wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

\[{(8x – 4y)^2} – 6x(x – y) + 2(x – 1)(x + 1) = \] \[8{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} – 5{\left( {x + \frac{1}{5}} \right)^2} + (3 – x)(x + 3) = \]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Udowodnij, że wyrażenie a16-1 jest podzielne przez (a+1).

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym zadaniu największą trudnością jest zauważenie, że trzeba zastosować wzór skróconego mnożenia: \({a^2} – {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right)\). Musisz zauważyć, że a16= (a8)2, zaś 1=12. Mając różnicę dwóch kwadratów stosujesz wzór skróconego mnożenia. Później powtarzasz rozumowanie zobacz całość tłumaczenia na filmie.

Zadanie.

Udowodnij, że wyrażenie \(({3^{16}} – {1^{16}}) \) jest podzielne przez 40.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Udowodnij, że wyrażenie \({x^8} – {y^8}\) jest podzielne przez (x+y).

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tego typu przykładach zauważasz, że mamy podaną różnicę dwóch kwadratów, więc stosujemy tu wzór skróconego mnożenia: \[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a-b \right)\] Tak, tak, nie widać tych kwadratów, ale można potęgę „8” rozłożyć zgodnie ze wzorem: „potęga potęgi”, na iloczyn potęg: \(”4\cdot 2”\). Wówczas kwadraty będą już widoczne i można bezpośrednio wykorzystać wzór skróconego mnożenia.

Bądź na bieżąco z Matfiz24.pl 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *


sześć − 4 =

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>