Ciąg arytmetyczny – sprawdzian

Napisz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym dany jest pierwszy wyraz ciągu oraz jego różnica.
a) a₁=3, r=4;
b) a₁=-5, r=-2;

Propozycja rozwiązania

Napisz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, a następnie wstaw do wzoru wartości liczbowe różnicy i pierwszego wyrazu ciągu. W miejsce literki „n” nic nie wstawiaj, ponieważ rozwiązaniem jest właśnie wzór zależny od liczby naturalnej „n”.

Czy ciąg dany wzorem ogólnym a_n=n+2 jest ciągiem arytmetycznym?

Propozycja rozwiązania

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnym wyrazem, a wyrazem poprzedzającym jest liczbą stałą. Zatem mając wzór ogólny ciągu a_n wyznaczasz wzór ogólny ciągu a_n+1. Odejmujesz wzory ogólne a_n+1– a_n. Jeśli wynik jest liczbą stałą to w zadaniu występuje ciąg arytmetyczny, jeśli będzie to wyrażenie z literką n to nie jest to ciąg arytmetyczny.

Czy ciąg dany wzorem ogólnym a_n=2n²-1 jest ciągiem arytmetycznym?

Propozycja rozwiązania

Wyznaczasz różnicę a_n+1– a_n. Jeśli różnica jest liczbą rzeczywistą to dany ciąg będzie arytmetycznym. W przypadku, gdy różnica jest wyrażeniem ze zmienną n to dany ciąg nie jest arytmetyczny.

Czy ciąg dany wzorem ogólnym \({{a}_{n}}=\frac{n}{n-2}\) jest ciągiem arytmetycznym?

Propozycja rozwiązania:

Wyznacz ciąg arytmetyczny (to znaczy podaj pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę) wiedząc, że dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy 28, a dwudziesty 48.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego rozpisujemy a₁₀ oraz a₂₀. Efektem jest układ równań. Rozwiązując go otrzymujemy r-różnicę ciągu arytmetycznego oraz a₁-pierwszy wyraz tego ciągu.

Wyznacz ciąg arytmetyczny (to znaczy podaj pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę), wiedząc, że \({{a}_{6}}=\frac{7}{4}\) oraz \({{a}_{21}}=\frac{11}{2}\).

Między liczby 5 i 13 wstaw trzy liczby tak, aby otrzymany ciąg był arytmetyczny.

Dla jakich wartości parametru n podany ciąg jest arytmetyczny: \({{n}^{2}}-1,\ 3n+1,\ 2{{n}^{2}}-6\).

W ciągu arytmetycznym suma wyrazu a₉ i a₁₃ wynosi 9, zaś stosunek wyrazu a₁₇ do a₅ wynosi 2. Wyznacz ten ciąg tzn. znajdź pierwszy wyraz tego ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego.

Mając ciąg arytmetyczny (a_n) o danych wyrazach: a₁=-20, a₂=-18,5, a₃=-17
Wyznacz:
a) różnicę ciągu arytmetycznego
b) wzór ogólny ciągu (a_n)
c) monotoniczność ciągu arytmetycznego
d) a₁₀₀

Wyznacz ciąg arytmetyczny mając pierwsze trzy wyrazy jego ciągu: x+1, 18, 49-3x.