Mediana - Co to jest? Jak obliczyć medianę liczb?

Mediana

Co to jest mediana?

Mediana – to wartość środkowa w uporządkowanym ciągu liczb.

Przykład MEDIANYw uporządkowanym ciągu, w którym jest nieparzysta liczba elementów.

Dany ciąg uporządkowany rosnąco: 2, 5, 7, 8, 9, 10, 32. Zatem Mediana M=8, ponieważ jest to środkowy wyraz ciągu liczbowego. Jest to czwarty element niezależnie, czy liczysz od początku, czy od końca tego ciągu liczb.

Przykład MEDIANY w ciągu uporządkowanym rosnąco o parzystej liczbie elementów tego ciągu.

Dany ciąg uporządkowany rosnąco: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Jeśli ciąg posiada parzystą ilość elementów, wówczas bierzemy sumę dwóch środkowych elementów i wyliczamy ich średnią arytmetyczną. W tym przypadku dwa wyrazy są środkowe, czyli równoodległe od początku i końca ciągu. Medianą będzie średnia arytmetyczna tych dwóch środkowych liczb: \(M=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4,5\)

Jak obliczyć medianę?

Niżej przedstawiam zadania z mediany

Zadanie.

W poniższej tabeli przedstawiono wynik sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych.

Czas ( w godzinach) 1 2 3 4
Liczba uczniów 5 10 15 10

W odniesieniu do liczba godzin, jaką uczeń przeznacza na przygotowanie zadań domowych, prawdą jest, że:

A. średnia wynosi 2 godziny 45 minut, TAK/NIE
B. mediana (inaczej wynik środkowy) wynosi 2,5 godziny, TAK/NIE
C. dominanta (inaczej moda lub wynik najczęstszy) wynosi 3 godziny. TAK/NIE
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Dany jest zestaw dziesięciu liczb: 11, 14, 2, 3, 7, 6, 7, 8, 5, 2.

I. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa ich medianie. PRAWDA/FAŁSZ
II. Jeżeli usuniemy z zestawu liczbę 8, to średnia arytmetyczna pozostałych liczb będzie mniejsza od ich mediany. PRAWDA/FAŁSZ
III. W zestawie złożonym z kwadratów podanych dziesięciu liczb mediana jest kwadratem mediany danego zestawu.PRAWDA/FAŁSZ
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

W pewnej firmie jest ośmiu pracowników. Ich zarobki w złotych to: 1700, 1800, 2000, 2000, 2100, 2100, 2100 i 8000. Prawdą jest, że:

A. Średnia zarobków wynosi 2725 zł, TAK/NIE
B. Mediana wynosi 2050 zł. Mediana to wartość środkowa dla nieparzystej liczby danych uporządkowanych lub średnia arytmetyczna dwóch wartości najbliżej środka dla parzystej liczby danych uporządkowanych, TAK/NIE
C. Moda wynosi 2100 zł. Moda to wartość najczęściej występująca, TAK/NIE
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie 12. (0-3)

W pewnej firmie średnia arytmetyczna miesięcznych zarobków wszystkich pracowników wynosi 2328 zł. Rozkład tych zarobków przedstawiono w tabeli.

Tabela

Ustal, która wartość jest większa: mediana czy średnia arytmetyczna miesięcznych zarobków pracowników tej firmy. Odpowiedź uzasadnij.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Mediana zadania z egzaminu gimnazjalnego

Zadanie 1. (0-1)

Na diagramie przedstawiono wyniki pracy klasowej z matematyki w pewnej klasie.

Matematyczny diagram

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

Z informacji podanych na diagramie wynika, że

(Uwaga: Mediany nie ma w podstawie programowej dla 8 klas w roku 2020.)

A. pracę klasową pisało 30 uczniów.
B. najczęściej powtarzającą się oceną jest 4.
C. mediana wyników z pracy klasowej wynosi 2.
D. średnia wyników z pracy klasowej jest równa 3,6.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie 15.

Ola codziennie, przez tydzień, odczytywała o 7 rano temperaturę powietrza. Oto podane (w °C) wyniki jej pomiarów: −2, 3, 4, 0, −3, 2, 3.

Wybierz odpowiedź, w której podano poprawne wartości średniej arytmetycznej, mediany i amplitudy (różnica między wartością najwyższą i wartością najniższą) zanotowanych temperatur.

(Uwaga: Mediana nie występuje w podstawie programowej szkoły podstawowej w roku 2020.)

Średnia mediana amplituda
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie 11. (0–1)

Pięć różnych liczb naturalnych zapisano w kolejności od najmniejszej do największej: 1, a, b, c, 10. Mediana liczb: 1, a, b jest równa 3, a mediana liczb: a, b, c, 10 jest równa 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba c jest równa

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Rozwiązanie:

Mediana to wartość środkowa w ciągu uporzadkowanym. Jeśli ciąg ma parzystą liczbę wyrazów to medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów tego uporządkowanego ciągu.

Dany jest ciąg uporządkowany: 1, a, b, c, 10.

Wiemy, że medianą liczb: 1, a, b jest równa 3. Stąd możemy wywnioskować, że a=3.

Mamy ciąg uporządkowany: 1, a, b, c, 10. Wiedząc, że a=3 otrzymujemy ciąg liczb: 1, 3, b, c, 10.

Z zadania wiemy, że mediana liczb: 3, b, c, 10 jest równa 5.

Zatem b=4, c=6, ponieważ mediana liczb: 3, 4, 6, 10 jest równa 5, ponieważ średnia dwóch środkowychwyrazów 4 i 6 jest równa 5.

Inne możliwości są niedopuszczalne, ponieważ psują nam początkowe warunki zadania o rosnąco uporządkownych liczbach oraz o niepowtarzalności liczb w ciągu.

Odp.: C. 6

Zadanie 21. (0–2)

Do zestawu liczb: 3, 5 i 9 dopisano czwartą liczbę. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu czterech liczb jest większa od mediany początkowego zestawu trzech liczb. Uzasadnij, że dopisana liczba jest większa od 5.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Bądź na bieżąco z MatFiz24.pl