Konkurs kuratoryjny z matematyki 2014/15 – Śląskie – Etap szkolny

Rozwiąż krzyżówkę. Hasło w zacieniowanych okienkach to przydomek włoskiego matematyka Leonarda z Pizy oraz tytuł książki, w której wprowadził on do matematyki europejskiej cyfry arabskie i pojęcie zera. Hasło nie jest oceniane, ale zweryfikuje Twoje odpowiedzi.

1. Każdemu argumentowi przyporządkowuje dokładnie jedną wartość.

2. Figura płaska mająca pięć boków.

3. Wyrażenie \({a^3}\) pozwala obliczyć jej wartość dla sześcianu o krawędzi długości a.

4. Kąt, którego ramiona zawierają promienie okręgu, to kąt…

5. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa dzielniki, to liczba…

6. Jeden z boków równoległych w trapezie.

7. Liczba w ułamku, która może być zerem.

8. Prostopadłościan mający wszystkie krawędzie równej długości.

9. Milion milionów.

10. Kąty o wspólnym ramieniu, których pozostałe ramiona dopełniają się do prostej, to kąty…

11. Jedna milionowa kilometra.

12. W trójkątach przystających odpowiednie mają równe długości.

13. Najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza (słownie).

14. Jego prawdopodobieństwo dla wyrzucenia reszki w rzucie monetą symetryczną wynosi \(\frac{1}{2}\).

15. Jedna z 8 w ostrosłupie czworokątnym.

16. Wielokąt foremny o trzech bokach.

17. Wielokąt, który jest jednocześnie rombem i prostokątem.

18. Najdłuższa cięciwa okręgu.

19. System liczbowy o podstawie 10, to system…

1. Można wskazać taką liczbę czterocyfrową, podzielną przez 3, której wszystkie cyfry są podzielne przez 3. PRAWDA/FAŁSZ
2. Każda liczba pięciocyfrowa podzielna przez 3 ma wszystkie cyfry podzielne przez 3. PRAWDA/FAŁSZ
3. Istnieje taka liczba sześciocyfrowa podzielna przez 3, w której żadna cyfra nie jest podzielna przez 3. PRAWDA/FAŁSZ

Na początku roku dziewczęta stanowiły \(46\frac{2}{3}\% \) wszystkich uczniów klasy. W ciągu roku z tej klasy odeszło 12,5% wszystkich chłopców.

1. Na początku roku w klasie mogło być 30 uczniów. PRAWDA/FAŁSZ
2. Na końcu roku liczba dziewcząt była taka sama jak liczba chłopców. PRAWDA/FAŁSZ
3. Z klasy odeszło \(9\frac{2}{3}\% \) wszystkich uczniów. PRAWDA/FAŁSZ

Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci \({2^{\left( {{2^n}} \right)}} + 1\), gdzie n jest liczbą naturalną. Liczbę wyznaczoną dla n oznaczamy symbolem \({F_n}\).

1. Liczby \({F_0},{F_1},{F_2},{F_3}\) są liczbami pierwszymi. PRAWDA/FAŁSZ
2. Liczba \({2^{64}} + 1\) jest liczbą Fermata. PRAWDA/FAŁSZ
3. Liczba 19 jest liczbą Fermata. PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli a, b, c, d są liczbami dodatnimi takimi, że 3a = 5b, 6c = 5d i 2c = 7a, to prawdziwa jest nierówność:

1. b < a < d PRAWDA/FAŁSZ
2. c < d < b PRAWDA/FAŁSZ
3. a < c < d PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli w pięciokącie wypukłym narysujemy wszystkie przekątne, to zawsze otrzymamy

1. mniej niż 20 trójkątów. PRAWDA/FAŁSZ
2. dokładnie 5 trapezów. PRAWDA/FAŁSZ
3. dokładnie 20 czworokątów. PRAWDA/FAŁSZ

W okręgu podzielonym na 8 równych części poprowadzono cięciwy i otrzymano kąty \(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \) (jak pokazano na rysunku).

1. \(\alpha = 45^\circ \) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(\alpha = 2\beta \) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\gamma = \alpha + \beta \) PRAWDA/FAŁSZ

Każdy z boków kwadratu podzielono na 3 równe części i utworzono figurę F zacieniowaną na rysunku.

1. Figura F jest równoległobokiem. PRAWDA/FAŁSZ
2. Figura F jest rombem. PRAWDA/FAŁSZ
3. Figura F nie jest kwadratem. PRAWDA/FAŁSZ

Prawidłowo sformułowana cecha podzielności przez 4, to zdanie:

1. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4. PRAWDA/FAŁSZ
2. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. PRAWDA/FAŁSZ
3. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba jej setek jest podzielna przez 4. PRAWDA/FAŁSZ

Miejscowości X i Y są oddalone od siebie o 80 km. Statek wycieczkowy, płynąc z prądem rzeki z X do Y, pokonuje tę trasę w czasie 4 godzin, a płynąc z powrotem – w czasie 5 godzin. Oblicz prędkość statku oraz prędkość nurtu rzeki, zakładając, że statek płynie ze stałą prędkością oraz prędkość prądu rzeki też jest stała.

Iloczyn cyfr pewnej liczby trzycyfrowej wynosi 36, a suma jej cyfr jest równa 13. Podaj wszystkie takie liczby trzycyfrowe, które spełniają te warunki. Uzasadnij, że są to wszystkie takie liczby.

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD i trójkąt CEO. Punkt O jest środkiem symetrii tego kwadratu. Pole trójkąta CEO stanowi \(\frac{1}{{20}}\) pola kwadratu. Oblicz, jaką część długości boku kwadratu ABCD stanowi długość boku CE trójkąta.

Objętość prostopadłościanu wynosi \(405\,c{m^3}\). Stosunek długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi 1 : 3 : 5. Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Losując bez zwracania dwie liczby spośród następujących: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, możemy otrzymać 36 różnych wyników (wynik losowania {a, b} i {b, a} jest tym samym wynikiem). Oblicz prawdopodobieństwo, że różnica między większą a mniejszą z wylosowanych liczb jest większa od 4.