Konkurs kuratoryjny z matematyki 2013/14 – Śląskie – Etap rejonowy

Rozwiąż krzyżówkę, wpisując w odpowiednie miejsca liczby opisane w pytaniach. Zaznaczone pola rozwiązanej krzyżówki zawierają kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby Eulera (zwaną również liczbą Nepera), którą oznaczamy krótko literą e.

a. Sześcian najmniejszej liczby pierwszej nieparzystej.

b. Rozwiązanie równania \(\frac{{\sqrt 2 }}{x} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}\)

c. Rozwiązanie równania \(3 + 40:x \cdot 2 = 13\)

d. Liczba, której 35% wynosi 700.

e. Liczba, która nie należy do dziedziny funkcji \(f\left( x \right) = \frac{1}{{512 – {x^3}}}\)

f. Mianownik liczby odwrotnej do 1,11.

g. Liczba zer w zapisie dziesiętnym liczby sto milionów.

h. Liczb niepodzielna przez 36 spośród liczb: \[162436, 162432, 366336.\]

i. Sześcian parzystej liczby pierwszej.

j. Mediana zbioru liczb: \[16, 4, 11, 18, 9, 8, 13, 19, 16, 10, 16, 9, 20, 14, 15.\]

k. Miejsce zerowe funkcji \(y = \frac{1}{5}x – 3.\)

l. Wartość bezwzględna najmniejszej ujemnej liczby czterocyfrowej

m. Najmniejsza trzycyfrowa liczba pierwsza

n. Pole powierzchni kuli, która powstała przez obrót koła o polu \(100\,{j^2}\) wokół średnicy.

o. Objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości, jaką ma ostrosłup o objętości \(117\,{j^3}\)

p. Wartość współczynnika b funkcji liniowej y = 4x – b , dla której liczba 31 jest miejscem zerowym.

q. Wartość \(\frac{{\sqrt[3]{{108}}}}{{\sqrt[3]{4}}}\)

Liczby a i b są naturalne. Reszty z dzielenia tych liczb przez 5 są równe odpowiednio 4 i 3.

1. Reszta z dzielenia sumy tych liczb przez 5 jest równa 3. PRAWDA/FAŁSZ
2. Reszta z dzielenia iloczynu tych liczb przez 5 jest równa 2. PRAWDA/FAŁSZ
3. Jeżeli a > b , to reszta z dzielenia różnicy a – b przez 5 jest równa 1. PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli \(a=\frac{17}{66},b=\frac{1717}{6666},c=\frac{17171717}{66666666}\) to prawdziwe jest wyrażenie

1. a ≤ b PRAWDA/FAŁSZ
2. a = b = c PRAWDA/FAŁSZ
3. b ≥ c PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli \(\frac{2a}{a+b}=\frac{4}{5},\) to \(\frac{2b}{b+a}\) jest

1. liczbą całkowitą. PRAWDA/FAŁSZ
2. równe \(\frac{6}{5}.\) PRAWDA/FAŁSZ
3. liczbą wymierną. PRAWDA/FAŁSZ

Rysunek przedstawia wykres funkcji f(x).

1. Dziedziną funkcji f(x) są wszystkie liczby mniejsze od 8 i większe od –4. PRAWDA/FAŁSZ
2. Funkcja f(x) ma dwa miejsca zerowe . PRAWDA/FAŁSZ
3. Funkcja f(x) przyjmuje wartość równą 1 tylko dla argumentu 8. PRAWDA/FAŁSZ

Każdą liczbę można przedstawić w postaci

1. ilorazu dwóch liczb o różnych znakach. PRAWDA/FAŁSZ
2. sumy dwóch liczb o różnych znakach. PRAWDA/FAŁSZ
3. różnicy dwóch liczb o różnych znakach. PRAWDA/FAŁSZ

Liczbą naturalną jest

1. \(\frac{{{10}^{85}}+2}{6}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(\frac{{{5}^{127}}+1}{2}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\frac{{{10}^{999}}-1}{9}\) PRAWDA/FAŁSZ

Dany jest sześcian o krawędzi a.

1. Obwód zacieniowanego na rysunku czworokąta wyraża się wzorem \(2a\left( 1+\sqrt{2} \right)\) PRAWDA/FAŁSZ
2. Obwód zaznaczonego na rysunku czworokąta, którego wierzchołki są punktami przecięcia przekątnych ścian bocznych, wyraża się wzorem \(2a\sqrt{2}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku wyraża się wzorem \(3a\sqrt{2}\) PRAWDA/FAŁSZ

W trapezie równoramiennym o polu 60 cm² ramię ma długość 10 cm, a wysokość 6 cm.

1. Podstawy trapezu mają długość 20 cm i 4 cm. PRAWDA/FAŁSZ
2. Obwód trapezu wynosi 40 cm. PRAWDA/FAŁSZ
3. Kąt ostry trapezu ma miarę 60°. PRAWDA/FAŁSZ

Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku są prostopadłe.

Wczoraj w klasie uczniów obecnych było 8 razy tyle co nieobecnych. Dzisiaj wrócił do szkoły jeden uczeń i teraz nieobecni stanowią 8% uczniów obecnych. Oblicz, ilu uczniów liczy klasa?

Prawdopodobieństwo trafienia w określoną część tarczy strzeleckiej określamy, jako stosunek pola tej części do pola całej tarczy. Rysunek przedstawia tarczę podzieloną na 5 części, przy czym promień najmniejszego okręgu wynosi r, a promień każdego kolejnego okręgu jest o r większy od poprzedniego. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w zacienioną jej część? Zakładamy, że żaden strzał nie jest chybiony.

Dwa okręgi o promieniach 2 cm i 6 cm są styczne zewnętrznie. Oblicz pole powierzchni figury ograniczonej tymi okręgami i prostą styczną do obu okręgów.

Iloczyn sumy dwóch liczb całkowitych przez ich różnicę jest równy 20. Podaj wszystkie pary liczb spełniających ten warunek. Odpowiedź uzasadnij.