Konkurs kuratoryjny z matematyki 2011/12 – Śląskie – Etap rejonowy

Rozwiąż krzyżówkę, wpisując w odpowiednie miejsca liczby opisane w punktach a – t. Jeżeli liczba nie jest całkowita, to pomiń w zapisie przecinek oddzielający całości (wpisz tylko ciąg cyfr). Zaznaczone pola rozwiązanej krzyżówki zawierają kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\pi \).

a) Średnia arytmetyczna liczb: 1213 i 1215.

b) Wartość pierwiastka kwadratowego z 2 z dokładnością do 0,01.

c) Okres rozwinięcia dziesiętnego ułamka \(\frac{1}{9} \).

d) Liczba odwrotna do liczby 0,008.

e) Największa naturalna liczba czterocyfrowa.

f) Najmniejszy wspólny mianownik w dodawaniu: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}.\)

g) Wartość x, dla której iloczyn \(135\cdot \left( 136-x \right)\cdot 137\) jest równy 0.

h) Rozwiązanie równania: 2x + 1 = 10005.

i) Przybliżenie liczby 1083,247 z dokładnością do 0,01.

j) Odjemnik w różnicy: 14785 – 12587.

k) Liczba przeciwna do liczby (–10832).

l) Wykładnik n w wyrażeniu: \({{\left( {{7}^{135}} \right)}^{2}}={{\left( {{7}^{3}} \right)}^{n}}.\)

m) Najmniejsza wielokrotność liczb 11 i 17.

n) Liczba, której nie można podstawić za x w wyrażeniu \(\frac{1}{x-2395}.\)

o) Najmniejsza liczba pierwsza, nieparzysta.

p) Dziesiąta potęga liczby 2.

q) Spośród liczb: 14373, 15373, 16373 podzielna przez 3 jest liczba … .

r) Wartość wykładnika n w wyrażeniu: \({{2}^{150}}\cdot {{2}^{150}}:{{2}^{15}}={{2}^{n}}.\)

s) Wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać 625.

t) Spośród liczb: 74374, 74375, 74376 podzielna przez 9 jest liczba … .

1. Sześcian liczby parzystej jest zawsze liczbą podzielną przez 4. PRAWDA/FAŁSZ
2. Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych może być liczbą nieparzystą. PRAWDA/FAŁSZ
3. Kwadrat liczby naturalnej dwucyfrowej zawsze jest liczbą trzycyfrową. PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli \(a={{6}^{6}}\quad i\quad b={{12}^{3}},\ to\)

1. \(a+b=7\cdot {{2}^{8}}\cdot {{3}^{3}}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(a\cdot b={{2}^{12}}\cdot {{3}^{9}}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\frac{a}{b}={{3}^{3}}\) PRAWDA/FAŁSZ

Działanie „\(\oplus \)” jest zdefiniowanie w zbiorze liczb naturalnych w następujący sposób:
\(a\oplus b=a\cdot \left( a+b \right)\cdot b\)
Wynika z tego, że:

1. \(a\oplus b=b\oplus a\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(a\oplus a=2{{a}^{3}}\)PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\left( 1\oplus 2 \right)\oplus 3=1\oplus \left( 2\oplus 3 \right)\) PRAWDA/FAŁSZ

Jeżeli miara kąta wewnętrznego pewnego wielokąta foremnego wynosi 160°, to

1. ten wielokąt ma 27 przekątnych. PRAWDA/FAŁSZ
2. suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi 1440°. PRAWDA/FAŁSZ
3. ten wielokąt ma 18 boków. PRAWDA/FAŁSZ

Jeśli w trójkącie prostokątnym ABC stosunek przyprostokątnych jest równy \(\frac{2}{3}\), to:

1. trójkąt KLM o wymiarach 15 cm, 12 cm i 9 cm jest podobny do trójkąta ABC. PRAWDA/FAŁSZ
2. przeciwprostokątna w trójkącie ABC ma długość 13 cm. PRAWDA/FAŁSZ
3. najmniejszy kąt w trójkącie ABC ma miarę 30°. PRAWDA/FAŁSZ

Jeśli w pewnym ułamku dziesiętnym x przesuniemy przecinek o jedno miejsce w prawo, to otrzymamy liczbę o 14,04 większą od x. Liczba x jest rozwiązaniem równania

1. x + 14,04 = 10x PRAWDA/FAŁSZ
2. 10x + 14,04 = 11x PRAWDA/FAŁSZ
3. 10x – 14,04 = x PRAWDA/FAŁSZ

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.

1. Średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10. PRAWDA/FAŁSZ
2. Jedna z wysokości tego trójkąta ma długość 4,8. PRAWDA/FAŁSZ
3. Odwód tego trójkąta ma długość 18,8. PRAWDA/FAŁSZ

Jeden z kątów w trójkącie równoramiennym ma miarę 70°.

1. Jest to trójkąt prostokątny. PRAWDA/FAŁSZ
2. Jeden z kątów tego trójkąta może mieć miarę 55°. PRAWDA/FAŁSZ
3. Jeden z kątów tego trójkąta może mieć miarę 40°. PRAWDA/FAŁSZ

Punkty A = (–7, 0), B = (0, 0), C = (0, 7) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt A i dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty o równych polach. Wykonaj odpowiedni rysunek. Uzasadnij odpowiedź.

W trójkącie o kątach 60°, 45° i 75° poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta o mierze 75°, która podzieliła przeciwległy bok na dwa odcinki. Wyznacz stosunek długości odcinków, na które został podzielony ten bok.

W dużych pudełkach było łącznie 180 batonów, a w małych 24 batony. Liczba małych pudełek stanowiła 20% liczby dużych pudełek. W każdym dużym pudełku było o 6 batonów więcej niż w każdym małym. Oblicz, ile było dużych, a ile małych pudełek?

Liczba x jest ułamkiem, którego licznik jest większy od mianownika o 3. Jeżeli licznik tego ułamka zwiększymy o 1, a mianownik zwiększymy o 10, to otrzymamy liczbę, która jest odwrotnością liczby x. Oblicz x.