Metoda podstawiania - Rozwiąż układ równań - MatFiz24.pl

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

Układy równań najczęściej rozwiązuje się metodą podstawiania, która zostanie omówiona na podstawie konkretnego przykładu.

Zadanie.

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

Metoda podstawiania
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Teraz rozwiążemy krok po kroku układ równań metodą podstawiania.

Metoda podstawiania przez wyznaczenie zmiennej x.

Krok 1: W naszym układzie równań w II równaniu zauważamy „samotną literkę x”. „Samotna literka” to żargon jakim określam literkę x lub y, przy której stoi współczynnik „1”. Oczywiście w rzeczywistości pisząc np.: „x” wiemy, że to „1x”, ale cyfra „1” jest pomijana w zapisie. Mówiąc ogólnie metoda podstawiania w prostych przykładach polega na znalezieniu x-sa lub y-ka bez liczby i wyznaczeniu z danego równania niewiadomej x lub y.

Metoda podstawiania

Uwaga: Jeśli przy wszystkich niewiadomych stoją liczby (różne od 1) wówczas możesz jedno z równań podzielić przez jeden ze współczynników w celu uzyskania „samotnej niewiadomej”.

Krok 2: W poniższym układzie równań wyznaczasz „samotną zmienną x” z II równania, czyli x-sa zostawiasz z lewej strony, a „-2y” przenosisz na prawą stronę. Zajmujesz się tylko II równaniem z „samotną literką”. W wybranym równaniu „samotną literkę” zostawiasz z lewej strony, a pozostałe elementy przenosisz na stronę prawą. Prawa strona tego równania jest Twoim podstawieniem (7+2y).

Metoda podstawiania

Krok 3: W miejsce x-sa w I równaniu podstawiasz wyrażenie (7+2y) – Twoje podstawienie. Jeśli nie rozumiesz możesz przepisać całe I równanie ołówkiem: 5x-3y=21. Teraz zetrzyj symbol x w I równaniu, a w jego miejsce wstaw otrzymane podstawienie: (7+2y). Drugie równanie przepisujesz bez zmiany.

Metoda podstawiania

Krok 4: Rozwiązujesz chwilowo tylko I równanie. W naszym układzie wymnażasz liczbę 5 przez nawias (7+2y).

Układy równań

Krok 5: Rozwiązując I równanie grupujesz wyrażenia z niewiadomą y po lewej stronie, a liczby umieszczasz z prawej strony.

Metoda podstawiania

Krok 6: W I równaniu redukujesz z lewej strony niewiadome y, zaś z prawej strony redukujesz liczby. Jeśli przy niewiadomej y jest liczba różna od „1” wówczas podziel równanie przez liczbę stojącą przy niewiadomej. Tu równanie dzielimy przez 7.

Metoda podstawiania

Krok 7: W pierwszym równaniu otrzymujesz obliczonego y-ka. tzn. otrzymujesz y=-2. W tym momencie zauważasz, że y-ka o wartości liczbowej „-2” możesz wstawić do II równania.

Układ równań

Krok 8: Wstawiasz do II równania w miejsce niewiadomej y jej wartość. Jeśli nadal nie rozumiesz po prostu przepisz ołówkiem II równanie (Twoje podstawienie). Teraz zetrzyj tylko niewiadomą y. W jej miejsce wpisz obliczoną liczbę z I równania „-2”.

Metoda podstawiania

Krok 9: Pierwsze równanie y=-2 przepisujesz bez zmiany, zaś II równanie obliczasz. Wykonujesz mnożenie, a następnie dodajesz liczby.

Rozwiązanie układu równań

Krok 10: Na końcu należy jeszcze podsumować układ równań rozwiązywany metodą podstawiania przez połączenie liczb klamerkami.

Metoda podstawiania

Zobacz, przeanalizuj i rozwiąż układ równań metodą podstawiania. Jest to metoda skuteczniejsza od metody przeciwnych współczynników, ponieważ istnieją trudniejsze przypadki, które można rozwiązać tylko przy pomocy metody podstawiania. Istnieje tutaj pewien schemat postępowania, według którego należy rozwiązywać zadania.

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania w zadaniach?

Zadanie.

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

Metoda podstawiania
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x – 2y = – 2}\\ {2x + y = – 6} \end{array}} \right.\]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube Jest to jeden z prostszych przykładów dotyczących metody podstawiania. W tym przykładzie zauważasz, że w drugim równaniu występuje niewiadoma „y” z niewidocznym współczynnikiem „1”. Zatem z drugiego równania wyznaczasz zmienną „y”, otrzymując podstawienie.
Zadanie.

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{5}x + \frac{2}{5}y = 2}\\ {\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y = \frac{{25}}{2}} \end{array}} \right.\]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tym układzie równań na samym początku warto usunąć mianowniki. Robisz to przez pomnożenie równania przez liczbę, która jest wspólnym mianownikiem, mianowników występujących w danym równaniu.

Zadanie.

Rozwiąż układ równań (Metoda podstawiania).

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}x + \frac{3}{4}y = 8}\\ {\frac{1}{2}x – \frac{1}{5}y = – \frac{1}{{10}}} \end{array}} \right.\]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube Podczas rozwiązywania tego układy metodą podstawiania na początku usuń mianowniki.
Zadanie.

Rozwiąż układ równań.

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{4}x – \frac{4}{5}y = x – y\quad \quad \quad }\\ {3\left( {4 – x} \right) – 5\left( {y – 1} \right) = – 20} \end{array}} \right.\]
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube W powyższym układzie równań w pierwszym równaniu usuwasz mianowniki z ułamków stojących przy niewiadomych. W drugim równaniu wymnóż liczby przez nawiasy.

Zobacz, jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników?

Bądź na bieżąco z MatFiz24.pl