Pierwiastek z potęgi

UZYSKAJ DOSTĘP DO CAŁEJ STRONY MATFIZ24.PL

Wykonując działania na pierwiastkach pamiętaj, że głównym wzorem tutaj jest: \[\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\]

Z pewnością zauważyłeś, że powyższy wzór można uprościć do \(\sqrt{{{a}^{2}}}=a\), jeśli pracujemy na liczbach dodatnich.

Przykłady pierwiastkowania potęgi

\[\begin{align} & \sqrt{{{x}^{4}}}=\sqrt[2]{{{x}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| x \right|}^{2}} \\ & \sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt[2]{{{2}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{2}^{2}}=4 \\ & \sqrt{{{\left( -2 \right)}^{4}}}=\sqrt[2]{{{\left( -2 \right)}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| -2 \right|}^{2}}={{2}^{2}}=4 \\ & \sqrt{{{3}^{8}}}=\sqrt[2]{{{3}^{8}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{3}^{4}}=81 \\ & \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{8}}}=\sqrt[2]{{{\left( -3 \right)}^{8}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| -3 \right|}^{4}}={{3}^{4}}=81 \\ \end{align}\]

Zauważ, że pierwiastkując pierwiastkiem kwadratowym symbol podniesiony do potęgi parzystej otrzymujesz wynik z modułem. W miejscach oznaczonych gwiazdką (*) oznaczyłem moment, gdy możesz skrócić stopień pierwiastka z potęgą liczby bądź symbolu.

\[\begin{align} & \sqrt[3]{{{x}^{15}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{x}^{5}} \\ & \sqrt[3]{{{\left( -6 \right)}^{15}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left( -6 \right)}^{5}}=-7776 \\ & \sqrt[5]{{{x}^{20}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{x}^{4}} \\ & \sqrt[5]{{{7}^{20}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{7}^{4}} \\ \end{align}\]

Pierwiastki stopnia nieparzystego są w tego typu działaniach odrobinę łatwiejsze. Można skrócić stopień pierwiastka z potęgą, ale nie dopisujemy modułu. Znak jest zachowywany.

Zerknij jak postępujemy w przypadku potęg, które nie skracają się ze stopniem pierwiastka.

\[\begin{align} & \sqrt[3]{{{x}^{8}}}=\sqrt[3]{{{x}^{6}}\cdot {{x}^{2}}}=\sqrt[3]{{{x}^{6}}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}} \\ & \sqrt{{{6}^{5}}}=\sqrt{{{6}^{4}}\cdot 6}=\sqrt{{{6}^{4}}}\cdot \sqrt{6}={{6}^{2}}\sqrt{6}=36\sqrt{6} \\ & \sqrt[3]{{{4}^{7}}}=\sqrt[3]{{{4}^{6}}\cdot 4}=\sqrt[3]{{{4}^{6}}}\cdot \sqrt[3]{4}={{4}^{2}}\sqrt[3]{4}=16\sqrt[3]{4} \\ & \sqrt[5]{{{9}^{18}}}=\sqrt[5]{{{9}^{15}}\cdot {{9}^{3}}}=\sqrt[5]{{{9}^{15}}}\cdot \sqrt[5]{{{9}^{3}}}={{9}^{3}}\sqrt[5]{{{9}^{3}}}=729\sqrt[5]{{{9}^{3}}} \\ \end{align}\] Liczbę, która jest pod pierwiastkiem należy rozłożyć na taki iloczyn, aby jeden z czynników pierwiastkował się.

Pierwiastek z potęgi – zadania

Zadanie.

Wykonaj działania na pierwiastkach.

Pierwiastek potęgi
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Zapraszam na: Kurs potęgowanie i pierwiastkowanie kurs potęgowanie i pierwiastkowanie

Pierwiastek z potęgi
4.2 (84%) 5 votes

Bądź na bieżąco z MatFiz24.pl 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *