Pierwiastki

Definicja pierwiastka

Poniższy zapis czytamy:

\[\sqrt[n]{a} = b\quad ,gdy\quad {b^n} = a\]

„Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a równa się b, gdy b do potęgi n-tej jest równe a”

W tym zapisie:
n – stopień pierwiastka
a – liczba podpierwiastkowa
b – pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, wynik pierwiastkowania

Jak obliczać pierwiastki? Na początku zastanawiasz się jaki jest stopień pierwiastka. W zapisie \(\sqrt[3]{8}\) jest on jawnie podany. To ta mała trójeczka decyduje, że jest to pierwiastek trzeciego stopnia inaczej pierwiastek sześcienny.

Gdy nie ma jawnie zapisanego stopnia pierwiastka to wiemy, że jest to pierwiastek 2-go stopnia, czyli pierwiastek kwadratowy. Zerknij na równoważność zapisów: \(\sqrt[2]{9}= \sqrt{9}\).

Na początku zauważ, że pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania.

\[\sqrt[3]{8}=2\quad ,bo\quad {{2}^{3}}=8\]

Jeśli chcesz obliczyć pierwiastek np. \(\sqrt[3]{8}=\) zastanawiasz się jaka liczba podniesiona do potęgi 3 da Ci liczbę 8. Zauważasz, że \({{2}^{3}}=8\).

Zaczynając przygodę z pierwiastkami powtórz tabliczkę mnożenia oraz tzw. „tabliczkę pierwiastkowania”. Wówczas obliczanie pierwiastków nie będzie Ci Straszne.

Tabliczka pierwiastkowania
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Więcej: Na czym polega pierwiastkowanie.

Wzory na pierwiastki

Niżej przedstawiam najważniejsze wzory na pierwiastki. Niektóre są silnie związane z potęgowaniem, ponieważ pierwiastkowanie jest działem odwrotnym do potęgowania.

Wzory na pierwiastki

Pierwiastek z pierwiastka

Działania na pierwiastkach, w których występuje pierwiastek z pierwiastka wykonujemy obliczając najpierw pierwiastek wewnętrzny, a następnie po jego usunięciu pierwiastkujemy jeszcze raz usuwając pierwiastek, który pozostał, czyli ten zewnętrzny.

Czasem w przykładzie może być np. trzy pierwiastki ustawione w zapisie matematycznym jeden nad drugim. Wówczas niezależnie od ilości pierwiastków wykonujemy pierwiastkowanie od tych najbardziej wewnętrznych, które pod znakiem pierwiastka nie posiadają już żadnych pierwiastków. Następnie przechodzimy do pierwiastkowania pierwiastków bardziej zewnętrznych.

Zadanie.

Oblicz pierwiastek z pierwiastka.

Pierwiastek z pierwiastka
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Szacowanie pierwiastków

Zadanie.

Wykonaj szacowanie pierwiastków, czyli odpowiedz między jakimi liczbami całkowitymi na osi liczbowej leży dany pierwiastek?

Szacowanie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Jak szacować pierwiastki omówię na przykładzie \(\sqrt {17} \). Zauważamy, że \(\sqrt {17} \) leży na osi liczbowej między \(\sqrt {16} \), a \(\sqrt {25} \). Pamiętaj, aby dobierając pierwiastki ograniczające wybierać takie, które po wykonaniu pierwiastkowania dają sąsiednie liczby całkowite. Zatem:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {16} }\\ {\begin{array}{*{20}{c}} \Downarrow \\ 4 \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} < \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ < \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {17} }\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {\sqrt {17} } \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} < \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ < \end{array}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {25} }\\ {\begin{array}{*{20}{c}} \Downarrow \\ 5 \end{array}} \end{array}\]

Więcej zadań dotyczących pierwiastków i ich szacowania.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka omówię na przykładzie \(\sqrt {18} \)

Wyłączanie przed znak pierwiastka

I sposób wyłączania czynnika przed znak pierwiastka

\[\sqrt{18}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 2}=3\sqrt{2}\] Rozkładasz liczbę podpierwiastkową 18 na iloczyn liczb pierwszych. Liczby pierwsze to takie, które mają dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Możesz to zrobić za pomocą tzw. „kreski” (patrz rys. wyżej). Zauważasz, że liczba 18 zostanie zastąpiona pod pierwiastkiem przez iloczyn: \(3\cdot 3\cdot 2\). Z wyrażenia: \(\sqrt{3\cdot 3}\) otrzymujesz liczbę „3” wyłączoną przed znak pierwiastka. Liczba 2 nie pierwiastkuje się więc zostanie pod pierwiastkiem stąd \(3\sqrt{2}\)

II sposób wyłączania czynnika przed znak pierwiastka

\[\sqrt {18} = \sqrt {9 \cdot 2} = 3\sqrt 2 \] Drugi sposób polega na rozłożeniu liczby, w tym wypadku 18 na taki iloczyn, aby jedna z liczb się pierwiastkowała. Tą liczbą w naszym przypadku jest oczywiście „9”. „9” się pierwiastkuje i otrzymujemy z niej wyłączoną liczbę „3”. Liczba „2” nie pierwiastkuje się zatem zostaje pod znakiem pierwiastka stąd \(3\sqrt{2}\).

Zadanie.

Wyłącz liczbę przed znak pierwiastka.

Wyłączanie przed znak pierwiastka
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Zadania: Wyłączanie i włączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

I sposób omówię dla \(5\sqrt{2}\)

Liczbę stojącą przed znakiem pierwiastka „5” wpisujesz pod znak pierwiastka podnosząc ją jednocześnie do potęgi „2”, gdzie potęga „2” jest stopniem pierwiastka. Następnie mnożysz jeszcze wyrażenie przez liczbę, która stała pod pierwiastkiem, czyli mnożysz przez „2”.

Podsumujmy: \[5\sqrt{2}=\sqrt{{{5}^{2}}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\]

II sposób omówię dla \(5\sqrt{2}\)

Liczbę stojącą przed pierwiastkiem „5” zamieniasz na pierwiastek: \(5=\sqrt{25}\). Dalej wykonujemy mnożenie pierwiastków tego samego stopnia, czyli zapisujemy iloczyn pod wspólna kreską ułamkową.

Podsumujmy: \[5\sqrt{2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\]

Zadanie.

Włącz czynnik/liczbę pod znak pierwiastka.

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Zadania: Wyłączanie i włączanie czynnika pod znak pierwiastka.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

Zadanie.

Wykonaj mnożenie pierwiastków.

Dodawanie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Mnożenie pierwiastków tego samego stopnia polega na wymnożeniu liczb podpierwiastkowych pod jednym znakiem pierwiastka. W dalszej kolejności można np. wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka.

Zadanie.

Wykonaj dzielenie pierwiastków.

Dzielenie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Dzielenie pierwiastków polega na wydzieleniu dwóch liczb podpierwiastkowych pod jednym znakiem pierwiastka. Podczas mnożenia i dzielenia pierwiastków postępujesz według zasady: „Liczby całkowite mnożysz/dzielisz z liczbami całkowitymi, a liczby podpierwiastkowe mnożysz/dzielisz z liczbami podpierwiastkowymi”

Zobacz różne rodzaje mnożenia pierwiastków.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Zadanie.

Wykonaj dodawanie lub odejmowanie pierwiastków.

Dodawanie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków, w których liczby podpierwiastkowe są identyczne polega na dodaniu lub odjęciu liczb stojących przed pierwiastkami i przepisaniu danego pierwiastka.

W pierwszym przykładzie \(\sqrt 2 + 3\sqrt 2 = \) dodajemy jeden pierwiastek z dwóch do trzech pierwiastków z dwóch. Razem wychodzi cztery pierwiastki z dwóch.

Tak jak pokazuje ilustracja możesz traktować pierwiastki jak jaja. Jedno jajo dodać trzy jaja to razem cztery jaja. Analogicznie wykonujemy dodawanie i odejmowanie pierwiastków.

Więcej>>>
Zadanie.

Wykonaj działania na pierwiastkach.

Dodawanie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W innych przykładach dodawanie i odejmowanie pierwiastków polega na wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka. W efekcie takiego działania otrzymujesz wyrażenia z takimi samymi liczbami pod znakiem pierwiastka.

Więcej>>>
Zadanie.

Wykonaj dodawanie pierwiastków.

Trudne dodawanie pierwiastków
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube Więcej>>>

Pierwiastek z potęgi

Wykonując działania na pierwiastkach pamiętaj, że głównym wzorem tutaj jest: \[\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\]

Z pewnością zauważyłeś, że powyższy wzór można uprościć do \(\sqrt{{{a}^{2}}}=a\) jeśli pracujemy na liczbach dodatnich.

Oto kilka przykładów z pierwiastkowania potęgi:

\[\begin{align} & \sqrt{{{x}^{4}}}=\sqrt[2]{{{x}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| x \right|}^{2}} \\ & \sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt[2]{{{2}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{2}^{2}}=4 \\ & \sqrt{{{\left( -2 \right)}^{4}}}=\sqrt[2]{{{\left( -2 \right)}^{4}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| -2 \right|}^{2}}={{2}^{2}}=4 \\ & \sqrt{{{3}^{8}}}=\sqrt[2]{{{3}^{8}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{3}^{4}}=81 \\ & \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{8}}}=\sqrt[2]{{{\left( -3 \right)}^{8}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left| -3 \right|}^{4}}={{3}^{4}}=81 \\ \end{align}\]

Zauważ, że pierwiastkując pierwiastkiem kwadratowym symbol podniesiony do potęgi parzystej otrzymujesz wynik z modułem. W miejscach oznaczonych gwiazdką (*) oznaczyłem moment, gdy możesz skrócić stopień pierwiastka z potęgą liczby bądź symbolu.

\[\begin{align} & \sqrt[3]{{{x}^{15}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{x}^{5}} \\ & \sqrt[3]{{{\left( -6 \right)}^{15}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{\left( -6 \right)}^{5}}=-7776 \\ & \sqrt[5]{{{x}^{20}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{x}^{4}} \\ & \sqrt[5]{{{7}^{20}}}\overset{*}{\mathop{=}}\,{{7}^{4}} \\ \end{align}\]

Pierwiastki stopnia nieparzystego są w tego typu działaniach odrobinę łatwiejsze. Można skrócić stopień pierwiastka z potęgą, ale nie dopisujemy modułu. Znak jest zachowywany.

Zerknij jak postępujemy w przypadku potęg, które nie skracają się ze stopniem pierwiastka.

\[\begin{align} & \sqrt[3]{{{x}^{8}}}=\sqrt[3]{{{x}^{6}}\cdot {{x}^{2}}}=\sqrt[3]{{{x}^{6}}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}} \\ & \sqrt{{{6}^{5}}}=\sqrt{{{6}^{4}}\cdot 6}=\sqrt{{{6}^{4}}}\cdot \sqrt{6}={{6}^{2}}\sqrt{6}=36\sqrt{6} \\ & \sqrt[3]{{{4}^{7}}}=\sqrt[3]{{{4}^{6}}\cdot 4}=\sqrt[3]{{{4}^{6}}}\cdot \sqrt[3]{4}={{4}^{2}}\sqrt[3]{4}=16\sqrt[3]{4} \\ & \sqrt[5]{{{9}^{18}}}=\sqrt[5]{{{9}^{15}}\cdot {{9}^{3}}}=\sqrt[5]{{{9}^{15}}}\cdot \sqrt[5]{{{9}^{3}}}={{9}^{3}}\sqrt[5]{{{9}^{3}}}=729\sqrt[5]{{{9}^{3}}} \\ \end{align}\] Liczbę, która jest pod pierwiastkiem należy rozłożyć na taki iloczyn, aby jeden z czynników pierwiastkował się.

Zadanie.

Wykonaj działania na pierwiastkach.

Pierwiastek potęgi
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Usuwanie niewymierności (pierwiastka) z mianownika

Rozpatrzmy usuwanie niewymierności z mianownika na podstawie przykładu \(\frac{4}{\sqrt{3}}\). Należy usunąć \(\sqrt{3}\) z mianownika. W tym celu całe wyrażenie należy pomnożyć przez liczbę „1”, a w zasadzie przez ułamek, którego licznikiem i mianownikiem jest \(\sqrt{3}\).

Otrzymujemy w tym momencie zapis \(\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\). Dalej mnożysz przez siebie liczniki i mianowniki otrzymując wynik w usuniętym pierwiastkiem z mianownika: \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Zadanie.

Usuń niewymierność (pierwiastek) z mianownika.

Usuń niewymierność
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Zadanie.

Usuń niewymierność (pierwiastek) z mianownika.

Usuń niewymierność
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

W tego typu zadaniach usuwanie pierwiastka z mianownika polega na utworzeniu i zastosowaniu w mianowniku wzoru skróconego mnożenia podanego w zielonej ramce na ilustracji wyżej.

Zwróć szczególną uwagę na mianownik i licznik dopisywanego ułamka, którego wartość liczbowa jest równa 1 (ponieważ licznik jest równy mianownikowi). Znak między wyrażeniami w dopisywanym ułamku jest zawsze przeciwny do znaku jaki występuje w mianowniku z którego chcemy usunąć pierwiastek. Jeśli w jednym mianowniku jest „+” to w drugim „-” lub odwrotnie.

Potęga o wykładniku wymiernym, a pierwiastkowanie

Jeśli masz w potędze ułamek zwykły to możesz wyrażenie zapisać w postaci pierwiastka. Stopniem pierwiastka jest mianownik potęgi, zaś licznik potęgi będzie stanowił potęgę liczby pod znakiem pierwiastka.

Przypominam, że minus w wykładniku potęgi likwidujesz przez odwrócenie podstawy potęgi.

Zadanie.

Oblicz potęgę o wykładniku wymiernym.

Pierwiastki, a potęgi
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Bądź na bieżąco z Matfiz24.pl 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *


7 − = pięć

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>