Konkurs kuratoryjny z matematyki 2014/15 – Śląskie – Etap rejonowy

Rozwiąż krzyżówkę, wpisując w odpowiednie miejsca liczby opisane w pytaniach. Zaznaczone pola rozwiązanej krzyżówki zawierają kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\sqrt 2 \)

a. Liczba \(1\frac{1}{8}\) w postaci dziesiętnej.

b. Liczba nienależąca do dziedziny funkcji \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{x} – 4}}\)

c. Wykładnik n w wyrażeniu \({9^n} = \frac{{{3^{30}}}}{{{3^5} \cdot {3^5}}}\)

d. Pole powierzchni bocznej walca powstałego przez obrót prostokąta o bokach \(\frac{{10}}{\pi }\;i\;20\) wokół jednego z tych boków.

e. Wartość wyrażenia: 14 – 5 : 9 × 27 + 3 ..

f. Długość przekątnej kwadratu o boku \(5\sqrt 2 \)

g. Liczba, której 45% wynosi 135.

h. Czwarta potęga odwrotności liczby \(\frac{1}{4}\)

i. Miejsce zerowe funkcji \(y = – \frac{1}{7}x + 8\)

j. Kwadrat najmniejszej dwucyfrowej liczby pierwszej

k. Iloczyn dodatnich pierwiastków równania: \(\left( {{x^3} – 27} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {x – 5} \right) = 0\)

l. Liczba gramów tłuszczu w 1000 g mleka z zawartością 7,5% tłuszczu.

m. Wartość wyrażenia \(\frac{{\sqrt {330} \cdot \sqrt {30} }}{{\sqrt {11} }}\)

n. Najmniejszy wspólny mianownik ułamków: \(\frac{1}{8},\frac{1}{{10}},\frac{1}{{12}}.\)

o. Najmniejsza ujemna liczba dwucyfrowa.

p. Największy wspólny dzielnik liczb: 30, 105, 210.

q. Wartość ilorazu: \(\frac{{1\left[ {km} \right]}}{{1\left[ m \right]}} = \)

r. Liczba podzielna przez 18 spośród liczb: 1234, 3456, 5679.

Większa koparka kopie rów w ciągu 6 godzin, a mniejsza koparka tę samą pracę wykona w ciągu 9 godzin.

1. Obie koparki razem wykonają tę pracę w ciągu 3,6 godziny. PRAWDA/FAŁSZ
2. Jeżeli większa koparka kopała przez 2 godziny, to mniejsza koparka dokończy wykop w ciągu 6 godzin. PRAWDA/FAŁSZ
3. Jeżeli mniejsza koparka wykopała \(\frac{1}{3}\) rowu, to większa koparka dokończy wykop w ciągu 4 godzin. PRAWDA/FAŁSZ

Liczba naturalna mająca dokładnie trzy dzielniki:

1. jest zawsze iloczynem trzech liczb pierwszych. PRAWDA/FAŁSZ
2. jest zawsze liczbą nieparzystą. PRAWDA/FAŁSZ
3. jest zawsze kwadratem liczby pierwszej. PRAWDA/FAŁSZ

Maksimum liczb a i b jest a, gdy a ≥ b lub b, gdy b ≥ a i oznaczamy symbolem max(a, b).

1. max(- 0,00009; – 0,0001) = -0,00009 PRAWDA/FAŁSZ
2. Dla dowolnej liczby a max \(\left( {a,\;{a^2}} \right) = {a^2}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Dla dowolnej liczby a max \(\left( {a,\;\frac{1}{a}} \right) = a\) PRAWDA/FAŁSZ

Trasa autobusu dalekobieżnego składa się z trzech odcinków. Pierwszy odcinek autobus pokonuje w 40 minut, drugi – w 0,75 godziny, a trzeci – w 2 godziny. Stosunek dróg na kolejnych odcinkach wynosi 2 : 3 : 7.

1. Nie można obliczyć dokładnie średniej prędkości na poszczególnych odcinkach. PRAWDA/FAŁSZ
2. Na pierwszym odcinku autobus miał z największą średnią prędkość. PRAWDA/FAŁSZ
3. Na trzecim odcinku autobus miał najmniejszą średnią prędkość. PRAWDA/FAŁSZ

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x największą liczbę całkowitą nie większą od x.

1. \(f\left( 1 \right) = f\left( {1\frac{1}{2}} \right)\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(f\left( { – 3} \right) = f\left( {\sqrt[3]{{ – 10}}} \right)\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(f\left( {2\sqrt 2 } \right) + f\left( { – \sqrt 7 } \right) = 1\) PRAWDA/FAŁSZ

Do puszki w kształcie walca włożono kulę o promieniu 6 cm. Kula ta dotyka obu podstaw walca i jego powierzchni bocznej na całym obwodzie.

1. Objętość walca wynosi \(342\,\pi \;c{m^3}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. W puszce z kulą zmieści się jeszcze co najmniej pół litra wody. PRAWDA/FAŁSZ
3. Jeżeli do walca zamiast kuli włożymy stożek o promieniu podstawy i wysokości takich samych jak w walcu, to pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(36\,\sqrt 5 \,\pi \;c{m^2}.\) PRAWDA/FAŁSZ

Kasia i Basia wyjmowały losowo, bez zwracania piłeczki z pudełka. W pudełku tym były 4 piłeczki zielone, 5 żółtych i 6 niebieskich. Kasia wyjęła piłeczkę niebieską, a po niej piłeczkę losowała Basia.

1. Prawdopodobieństwo wyjęcia przez Basię piłeczki żółtej jest takie samo jak prawdopodobieństwo wyjęcia niebieskiej. PRAWDA/FAŁSZ
2. Prawdopodobieństwo wyjęcia przez Basię piłeczki zielonej jest równe \(\frac{4}{{15}}.\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Jeżeli Basia wyjęła piłeczkę żółtą i sięgnęła do pudełka jeszcze raz, to prawdopodobieństwo, że wylosuje drugą żółtą piłeczkę jest takie samo jak prawdopodobieństwo wyjęcia piłeczki zielonej. PRAWDA/FAŁSZ

We wzorze na siłę grawitacji \({F_G} = G\frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\) G jest stałą grawitacji, a poszczególne zmienne oznaczają odpowiednio: \({m_1},\,{m_2}\) – masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał, r – odległość między środkami ciał.

1. Wartość zmiennej r obliczymy ze wzoru postaci: \(r = \sqrt {\frac{{G\,{m_1}{m_2}}}{{{F_G}}}} \) PRAWDA/FAŁSZ
2. Jeżeli masy ciał są równe, to wzór przyjmuje postać: \({F_G} = G\frac{{2m}}{{{r^2}}}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Wartość siły grawitacji \({F_G}\) rośnie wraz z odległością r ciał. PRAWDA/FAŁSZ

W trójkącie równobocznym ABC zaznaczono punkt P, który odległy jest od boków trójkąta o \(5\sqrt 3 ,\,3\sqrt 3 ,\,2\sqrt 3 .\) Oblicz pole tego trójkąta.

Ojciec jest o 20 lat starszy od syna. Za 5 lat ojciec będzie n razy starszy od syna (n jest liczbą naturalną). Ile lat może mieć obecnie ojciec, a ile syn? Podaj wszystkie możliwości. Odpowiedź uzasadnij.

W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Oblicz pole trapezu ABCD, jeśli \({P_{\Delta ABO}} = 20,\quad a\;{P_{\Delta CDO}} = 5.\)

Wykaż, że liczba \({36^{51}} + {9^{50}} – {6^{100}} + {3^{102}}\) jest podzielna przez 5.

Jeden bok prostokąta zwiększono o p%, a drugi zmniejszono o p%. Otrzymano prostokąt, którego pole stanowi 75% pola pierwotnego prostokąta. Oblicz, o jaki procent zmieniono wymiary boków.