Konkurs kuratoryjny z matematyki 2010/11 – Śląskie – Etap wojewódzki

Wyrażenie \(w\left( n \right)=n+\sqrt{n}\). Jeśli n jest liczbą naturalną, to w(n) może przyjąć wartość.

1. 90 PRAWDA/FAŁSZ
2. 110 PRAWDA/FAŁSZ
3. 60 PRAWDA/FAŁSZ

Wiadomo, że \({x}^{3} = 5\), wtedy

1. \(2{{x}^{3}}=25\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \({{x}^{9}}=15\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(x=\sqrt[3]{5}\) PRAWDA/FAŁSZ

Punkty E i F są środkami boków AB i BC kwadratu ABCD, którego bok ma długość a.

1. Pole trójkąta AEF stanowi \(\frac{1}{8}\) pola kwadratu ABCD. PRAWDA/FAŁSZ
2. Pole trójkątów AEF i EBF są równe. PRAWDA/FAŁSZ
3. Obwód trójkąta ABF wynosi \(\frac{3}{2}a+a\sqrt{5}.\) PRAWDA/FAŁSZ

Określamy działanie: \(a*b=\frac{a+b}{ab}\), dla liczb dodatnich a, b.

1. \(a*b=b*a\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(\left( a*b \right)*c=a*\left( b*c \right) \)PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\left( a+b \right)*c=a*c+b*c\) PRAWDA/FAŁSZ

Dwa okręgi: opisany na trójkącie równobocznym i wpisany w ten trójkąt, wyznaczają pierścień o polu \(12\pi c{{m}^{2}}.\)

1. Pole tego trójkąta jest większe od \(12\pi c{{m}^{2}}.\) PRAWDA/FAŁSZ
2. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 4 cm. PRAWDA/FAŁSZ
3. Pole koła wpisanego w ten trójkąt jest równe \(4\pi c{{m}^{2}}.\) PRAWDA/FAŁSZ

Funkcja f każdej liczbie naturalnej nie mniejszej niż 1000 i nie większej niż 2010 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 5.

1. Zbiorem wartości tej funkcji jest {4, 3, 2,1, 0}. PRAWDA/FAŁSZ
2. Funkcja ta jest określona dla 1010 argumentów. PRAWDA/FAŁSZ
3. Funkcja przyjmuje wartość 0 dla 203 argumentów. PRAWDA/FAŁSZ

Bankomat kwotę 370 zł wypłacił banknotami o nominałach 50 zł i 20 zł.

1. Wszystkich banknotów może być 10. PRAWDA/FAŁSZ
2. Banknotów o nominale 50 zł może być o 3 mniej niż o nominale 20 zł. PRAWDA/FAŁSZ
3. Może być jednakowa ilość banknotów każdego z dwóch nominałów 50 zł i 20 zł. PRAWDA/FAŁSZ

Wyrażenie \(w={{\left( 2x+4 \right)}^{2}}-5\), gdzie x oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, przyjmuje wartości, które

1. mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi. PRAWDA/FAŁSZ
2. są tylko liczbami dodatnimi. PRAWDA/FAŁSZ
3. są tylko liczbami nie mniejszymi niż –5. PRAWDA/FAŁSZ

Plac zabaw ma kształt sześciokąta, którego każde dwa kolejne boki są do siebie prostopadłe i mają długości 16 m, 10 m, 8 m, 6 m, 5 m, 3 m. Oblicz, jakie \(\underline{największe}\) pole może mieć taki plac i uzasadnij, że jest to największe pole.

Wykres funkcji f(x) = ax + b przechodzi przez punkty A(3, 5) i B(- 2,1). Uzasadnij, że punkt P(103, 85) również należy do wykresu tej funkcji. Zapisz obliczenia.

Po spaleniu 500 kg mieszanki węgla dwóch gatunków pozostało z węgla I gatunku o 42 kg popiołu mniej niż z węgla II gatunku. Węgiel I gatunku pozostawia 12% popiołu, a węgiel II gatunku pozostawia 22% popiołu. Ile węgla każdego gatunku było w tej mieszance?

W sześciennej kostce o krawędzi 5 dm, wydrążono na wylot dwa tunele prostopadłe do ścian bocznych. Przekrojem każdego z tuneli jest prostokąt o wymiarach 1 dm i 3 dm (patrz rysunek). Oblicz, jaka jest objętość bryły po wydrążeniu tuneli. Odpowiedź uzasadnij.