Konkurs kuratoryjny z matematyki 2010/11 – Śląskie – Etap szkolny

W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Wtedy:

1. Pola trójkąta AOD i trójkąta BOC są równe. PRAWDA/FAŁSZ
2. Obwody i pola trójkąta ABD i trójkąta ABC są równe. PRAWDA/FAŁSZ
3. Pola trójkąta ABO i trójkąta COD są równe. PRAWDA/FAŁSZ

Uczniowie na lekcji wychowania fizycznego ustawili się w szeregu. Wiadomo, że:
D stoi pomiędzy E i F,
C stoi pomiędzy D i E,
B stoi pomiędzy C i D,
A stoi pomiędzy B i C.
Oceń poniższe stwierdzenia:

1. Bezpośrednimi sąsiadami A są E i F. PRAWDA/FAŁSZ
2. A może stać na trzeciej pozycji z lewej strony. PRAWDA/FAŁSZ
3. A może stać na czwartej pozycji z lewej strony. PRAWDA/FAŁSZ

Mieszkaniec pewnej miejscowości wysłuchał dwóch prognoz pogody. W prognozie radiowej dla Zakopanego podano, że spadnie tam w ciągu najbliższej doby 40 litrów wody ma metr kwadratowy. W prognozie telewizyjnej dla Kołobrzegu zapowiedziano opady wielkości 40 mm (opad mierzony wysokością warstwy wody).

1. Prognoza przewidywała większe opady w Kołobrzegu. PRAWDA/FAŁSZ
2. Prognoza przewidywała większe opady w Zakopanem. PRAWDA/FAŁSZ
3. Obie prognozy przewidywały ten sam poziom opadów. PRAWDA/FAŁSZ

Warunek x > y spełniony jest gdy:

1. \(x=\frac{1}{5};\quad y=\frac{3}{14}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(x={{10}^{20}};\quad y={{90}^{10}}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(x=2\sqrt{5};\quad y=3\sqrt{2}\) PRAWDA/FAŁSZ

Rysunek przedstawia siatkę sześcianu:

1. Średnia arytmetyczna liczb na ścianach sześcianu wynosi 4,4. PRAWDA/FAŁSZ
2. Wszystkich dwucyfrowych liczb utworzonych z cyfr umieszczonych na przeciwległych ścianach sześcianu jest 5. PRAWDA/FAŁSZ
3. Suma kwadratów liczb na przeciwległych ścianach sześcianu jest zawsze podzielna przez 4. PRAWDA/FAŁSZ

Dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b zachodzi warunek:

1. \({{\left( a-b \right)}^{3}}={{\left( b-a \right)}^{3}}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(-{{a}^{3}}={{\left( -a \right)}^{3}}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) PRAWDA/FAŁSZ

Oceń poniższe stwierdzenia:

1. 25% liczby \({{4}^{12}}\quad to\quad {{4}^{11}}\) PRAWDA/FAŁSZ
2. 200% liczby \({{2}^{12}}\quad to\quad {{2}^{24}}\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Liczba o 100% większa od \({{2}^{12}}\quad to\quad {{2}^{13}}\) PRAWDA/FAŁSZ

Biegacz przebiegł ze stałą prędkością odcinek trasy z punktu A do punktu B. Po odpoczynku szedł ze stałą prędkością z B do A. Wykres przedstawia zależność drogi przebytej przez biegacza od czasu.

1. Biegacz biegł z prędkością \(8\frac{km}{h}\). PRAWDA/FAŁSZ
2. Biegacz szedł z prędkością \(4\frac{km}{h}\). PRAWDA/FAŁSZ
3. Średnia prędkość na całej trasie wynosiła \(6\frac{km}{h}\). PRAWDA/FAŁSZ

Uzasadnij, że iloczyn liczb: \(1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot …\cdot 2007\cdot 2009\cdot 2011\) jest podzielny przez 2013.

Gdyby zapisano obok siebie wszystkie numery stron książki znajdujące się na wszystkich stronach od 1. do 345., to z ilu cyfr składałaby się otrzymana liczba? Zapisz stosowne obliczenia i opisz tok rozumowania.

Na prostej obrano kolejno cztery punkty: A, B, C i D w ten sposób, że \(\left| AB \right|=6cm,\ \quad \left| AD \right|=10cm\quad oraz\quad \left| BC \right|=2cm.\) Po jednej stronie prostej narysowane są dwa półokręgi o średnicy AB i AC, a po drugiej stronie półokręgi o średnicy BD i CD. Oblicz pole obszaru ograniczonego półokręgami.

Oblicz obwód i pole figury przedstawionej na rysunku.