Konkurs kuratoryjny z matematyki 2010/11 – Śląskie – Etap rejonowy

15 osób chce podzielić między siebie kolekcję monet tak, aby każdy otrzymał inną liczbę monet. Jest to możliwe, gdy monet jest

1. co najmniej 105. PRAWDA/FAŁSZ
2. co najmniej 120. PRAWDA/FAŁSZ
3. więcej niż 120. PRAWDA/FAŁSZ

Za 5 lat córka będzie cztery razy młodsza od matki, a za 10 lat matka będzie trzy razy starsza od córki. Jeżeli x oznacza wiek matki obecnie, a y wiek córki obecnie, to zależności podane w zadaniu opisuje układ:

1. \(\left\{ \begin{align} & x+5=\frac{y+5}{4} \\ & x+10=\frac{y+10}{3} \\ \end{align} \right.\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(\left\{ \begin{align} & x+5=4\left( y+5 \right) \\ & x+10=3\left( y+10 \right) \\ \end{align} \right. \) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(\left\{ \begin{align} & x-4y=15 \\ & x-3y=20 \\ \end{align} \right. \) PRAWDA/FAŁSZ

Liczba x jest o 60% większa od liczby z, a liczba y jest o 25% większa od liczby z.

1. Liczba y stanowi \(\frac{25}{32}\) liczby x. PRAWDA/FAŁSZ
2. Liczba y jest o 35% mniejsza od liczby x. PRAWDA/FAŁSZ
3. Liczba x jest większa od liczby y o 28 %. PRAWDA/FAŁSZ

Określamy działanie: \(a*b=\frac{a+b}{ab}\) dla liczb dodatnich a, b.

1. \(2*2=1\) PRAWDA/FAŁSZ
2. \(\left( 1*2 \right)*3=1\) PRAWDA/FAŁSZ
3. \(3*3=1\) PRAWDA/FAŁSZ

Dany jest równoległobok ABCD o boku AB długości 10 i wysokości opuszczonej na ten bok długości 5. Na prostej CD obrano punkt E.

1. Pole trójkąta ABE zależy od położenia punktu E na prostej CD. PRAWDA/FAŁSZ
2. Pola trójkąta ABE nie można obliczyć na podstawie informacji podanych w zadaniu. PRAWDA/FAŁSZ
3. Pole trójkąta ABE jest równe połowie pola równoległoboku ABCD. PRAWDA/FAŁSZ

Dany jest graniastosłup, który ma 18 krawędzi.

1. Graniastosłup ten ma 10 wierzchołków. PRAWDA/FAŁSZ
2. Graniastosłup ten ma 18 przekątnych. PRAWDA/FAŁSZ
3. Graniastosłup ten ma dokładnie 18 przekątnych podstaw. PRAWDA/FAŁSZ

Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego należą do okręgu o promieniu 10 cm.

1. Pole tego trójkąta wynosi 100 cm². PRAWDA/FAŁSZ
2. Obwód tego trójkąta wynosi \(20\,\left( 1+\sqrt{2} \right)\,cm.\) PRAWDA/FAŁSZ
3. Wierzchołki tego trójkąta podzieliły okrąg na łuki w stosunku 1:1:2. PRAWDA/FAŁSZ

Pucharek w kształcie stożka napełniono sokiem do pełna. Sok ten należy rozcieńczyć wodą i w tym celu trzeba rozlać go do większej liczby naczyń.

1. Sok ten można rozlać do 8 takich samych stożkowych naczyń, napełniając każde naczynie do połowy wysokości. PRAWDA/FAŁSZ
2. Sok ten można rozlać do 9 takich samych stożkowych naczyń, napełniając każde naczynie do jednej trzeciej wysokości. PRAWDA/FAŁSZ
3. Sok ten można rozlać do 16 takich samych stożkowych naczyń, napełniając każde naczynie do jednej czwartej wysokości. PRAWDA/FAŁSZ

Uzasadnij, że nie istnieje taka liczba pierwsza p, że p + 12 i p + 25 są także jednocześnie liczbami pierwszymi.

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, których różnica kwadratów wynosi 29. Zapisz obliczenia i uzasadnienia.

Proste będące wykresami funkcji y = ax +10 i y = -ax +10 (gdzie a > 0 ) oraz oś OX wyznaczają trójkąt. Wyznacz wartość współczynnika a, dla którego pole tego trójkąta jest równe 100. Zapisz obliczenia i uzasadnienia.

Zegar oznajmia każdą z pełnych godzin liczbą uderzeń równą liczbie wskazywanej przez małą wskazówkę na tarczy zegara (np. godzinę \({{1}^{\underline{00}}}\) – jednym uderzeniem, godzinę \({{12}^{\underline{00}}}\) – dwunastoma uderzeniami, godzinę \({{13}^{\underline{00}}}\) – jednym uderzeniem), a 30 minut po każdej pełnej godzinie uderzał raz. Janek wyszedł z domu kwadrans po pewnej godzinie i wrócił do domu po upływie 3 godzin 30 minut. W czasie jego nieobecności zegar uderzył 37 razy. Podaj, o której godzinie Janek wyszedł z domu i o której powrócił. Odpowiedź uzasadnij.

Prostokąt, w którym stosunek sąsiednich boków wynosi 3:4 podzielono przekątną na dwa przystające trójkąty. Obwód każdego z nich jest równy 36 cm. Oblicz długości boków prostokąta.