»  

Funkcje

Definicja funkcji

Definicja funkcji: „Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie określone na zbiorze X posiadające wartości ze zbioru Y, w którym każdemu elementowi ze zbioru X odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru Y (może to być ten sam element)”.

Zbiór X – jest to zbiór argumentów, czyli dziedzina funkcji
Zbiór Y – opisuje zbiór wartości funkcji

Podczas rozpatrywania czy dane przyporządkowanie jest funkcją ważne są słowa zawarte w definicji funkcji informujące nas, że każdemu x-sowi odpowiada dokładnie jeden y-ek.

Oto najważniejsze informacje wynikające z pojęcia funkcji:

  • Każdy argument x musi posiadać dokładnie jedną wartość funkcji y
  • Kilka argumentów x może posiadać tę samą wartość funkcji y

Sposoby przestawiania funkcji

Funkcję można przedstawiać przy pomocy:

  • Opisu słownego
  • Grafu
  • Wykresu
  • Tabeli
  • Wzoru

Oczywiście najczęstszym sposobem przedstawiania funkcji jest wykres funkcji.

Oto kilka najważniejszych informacji dotyczących sposobów przedstawiania funkcji wynikających z powyższego przykładu:

1. Opis słowny

Jak widzisz na powyższym przykładzie opis słowny to nic innego jak swego rodzaju opis zależności matematycznej, w którym pierwsza część definiuje wyznaczaną dziedzinę funkcji {-1, 0, 1, 2}, zaś druga część zdania nakazuje znalezienie zbioru wartości funkcji przez pomnożenie każdego elementu z dziedziny przez 3.

2. Graf

Dalej funkcję można przestawić w postaci grafu. Graf opisujący funkcję w powyższym przykładzie składa się z dwóch zbiorów:

  • zbiór X – w którym są elementy z dziedziny funkcji tutaj: {-1, 0, 1, 2}
  • zbiór Y – wyznaczony zbiór wartości funkcji powstały z pomnożenia elementów dziedziny przez liczbę „3”

Co należy zrobić rysując graf?

  • Umieść elementy dziedziny funkcji: {-1, 0, 1, 2} w zbiorze X.
  • Każdy element ze zbioru X, pomnożyć przez 3, czyli: -1·3 = -3, 0·3 = 0, 1·3 = 3, 2·3 = 6 uzyskane elementy, czyli: {-3, 0, 3, 6} są wyznaczonymi elementami zbioru wartości funkcji i umieszczamy je w zbiorze Y.

Dalej odpowiednio łączymy strzałką elementy ze zbioru X ze zbiorem Y i tak „-1″ łączymy strzałką z trzykrotnością tej liczby, czyli z liczbą „-3″, „0” łączymy strzałką z trzykrotnością tej liczby, czyli z „0”, „1” łączymy strzałką z trzykrotnością tej liczby, czyli z „3”, „2” łączymy strzałką z trzykrotnością tej liczby, czyli z „6”.

3. Wzór

Kolejnym sposobem przedstawienia funkcji jest wzór. W naszym przypadku to: y = 3x, ponieważ każdą liczbę ze zbioru X = {-1, 0, 1, 2} mnożymy przez 3 i znajdujemy wartości funkcji.

4. Tabela

Tabelę budujemy w sposób następujący: w wierszu X tabeli umieszczamy elementy podane w zadaniu, czyli {-1, 0, 1, 2} będące dziedziną funkcji, zaś w wierszu Y umieszczamy trzykrotność tych wartości: {-3, 0, 3, 6}.

5. Wykres funkcji

Na zakończenie omówię Ci najprzyjemniejszy według mnie sposób przedstawiania funkcji, czyli wykres funkcji. Co robimy?

Rysujemy układ współrzędnych. Korzystamy z tabeli. Kolumny tabeli są współrzędnymi punktów funkcji: (-1, -3),(0, 0),(1, 3),(2, 6). Dalej punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych otrzymując wykres, czyli graficzne przedstawienie funkcji.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Dziedzina funkcji – to zbiór argumentów funkcji, czyli zbiór wszystkich x-ów należących do tej funkcji. W praktyce są to wszystkie liczby, które możemy wpisać do wzoru funkcji. Dziedzinę funkcji możemy również odczytać z wykresu. Wówczas patrzysz w jakiej części osi X leżą punkty Twojego wykresu.

Dziedzinę funkcji najczęściej oznaczamy przez: X, D, Df.

Zbiór wartości funkcji – jest to zbiór wszystkich y-ów należących do tej funkcji. Są to liczby, które możemy wyznaczyć wstawiając poszczególne argumenty „x” do wzoru funkcji. Bardzo często też można spotkać zadania, w których należy odczytać zbiór wartości z wykresu funkcji. W takiej sytuacji patrzysz w jakiej części osi Y leży wykres funkcji.

Zbiór wartości najczęściej oznaczamy przez: Y lub ZW.

Dla osób, które mają problem z wyznaczaniem dziedziny z wykresu proponuję narysować wykres w układzie współrzędnych ołówkiem lub kredą. Następnie wyznaczając dziedzinę funkcji zetrzyj całą pionową oś Y. Teraz zastanawiasz się w jakiej części osi X występuje wykres funkcji. Zbiór x-ów stanowi dziedzinę funkcji odczytanej z wykresu funkcji.

Ze zbiorem wartości postępujemy podobnie. Narysuj wykres funkcji, dalej zetrzyj oś poziomą X. Teraz odpowiedz w jakiej części osi pionowej Y znajduje się wykres Twojej funkcji. Zbiór y-ów jaki otrzymałeś jest Twoim zbiorem wartości funkcji.

Zadanie.

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji na podstawie wykresu:

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Rozwiązanie: wyznaczenie dziedziny funkcji.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube Dziedzina funkcji na podstawie wykresu funkcji

Rozwiązanie: wyznaczenie zbioru wartości funkcji.

Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube Zbiór wartości funkcji na podstawie wykresu funkcji

Warunki pomagające wyznaczyć dziedzinę ze wzoru funkcji

  • mianownik nie może być zerem
  • wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne

W zasadzie większość zadań opartych na wyznaczaniu dziedziny ze wzoru oparta jest na tych dwóch warunkach. Zmieniają się tylko funkcje występujące w mianowniku lub pod pierwiastkiem.

Zadanie.

Wyznacz dziedzinę ze wzoru funkcji.

dziedzina funkcji na podstawie wzoru
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taką liczbę x będącą argumentem funkcji, dla której wartość funkcji wynosi „O” (zero).

Podczas obliczeń miejsce zerowe znajdujesz przez wstawienie do wzoru w miejsce „y” wartości „0”. Wówczas to otrzymujesz zazwyczaj prostą równość, po której obliczeniu otrzymujesz x=”liczba”, gdzie „liczba” jest miejscem zerowym funkcji, a punkt o współrzędnych („liczba”,0) wyznacza Ci współrzędne miejsca zerowego funkcji.

Graficznie miejsce zerowe jest to punkt przecięcia się wykresu funkcji z poziomą osią X.

Zadanie.

Wyznacz na podstawie wykresu miejsca zerowe oraz współrzędne miejsc zerowych.

Miejsce zerowe funkcji
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Jak widzisz w tym przykładzie strzałki pokazują miejsca zerowe funkcji w sposób graficzny. Wystarczy odczytać ich współrzędne.

Monotoniczność funkcji

Definicja monotoniczności funkcji

  • Funkcja f jest rosnąca (silnie rosnąca) jeśli
    dla każdego \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) prawdziwy jest warunek \(f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\)
  • Funkcja f jest malejąca (silnie malejąca) jeśli
    dla każdego \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) prawdziwy jest warunek \(f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\)
  • Funkcja f jest stała jeśli
    dla każdego \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) prawdziwy jest warunek \(f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\)
  • Funkcja f jest niemalejąca (słabo rosnąca) jeśli
    dla każdego \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) prawdziwy jest warunek \(f\left( {{x}_{1}} \right)\le f\left( {{x}_{2}} \right)\)
  • Funkcja f jest nierosnąca (słabo malejąca) jeśli
    dla każdego \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) prawdziwy jest warunek \(f\left( {{x}_{1}} \right)\ge f\left( {{x}_{2}} \right)\)
definicja monotoniczności funkcji

Monotoniczność z wykresu

Zbadaj monotoniczność funkcji z wykresu. Wówczas możesz wyobrazić sobie, że „funkcja jest wzgórzem”, po którym wspina się człowiek. Podczas takiego podejścia wykres czytamy od lewej do prawej strony. „Ludzik” wędrujący po wykresie również musi się przemieszczać od lewej do prawej strony funkcji.

Podczas takiego określania monotoniczności funkcji jeśli ludzik w pewnym przedziale wspina się ku górze to mówimy, że funkcja jest rosnąca. W przypadku, gdy schodzi na dół to mówimy, że jest malejąca. Gdy zaś idzie po linii poziomej mówimy, że w tym przedziale funkcja jest stała.

Zadanie.

Zbadaj monotoniczność funkcji (tzn. określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała).

Monotoniczność funkcji
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Problem z nawiasami na końcach przedziałów monotoniczności

Niekiedy w literaturze możesz spotkać nawiasy domknięte jak i otwarte na końcach przedziałów monotoniczności.

Warto tutaj jednak powiedzieć, że nie bada się monotoniczności funkcji w punkcie.
Jeśli jesteś maturzystą podczas badania monotoniczności funkcji należy domykać przedziały.

Sposób udzielania odpowiedzi

Ważnym aspektem monotoniczności funkcji jest także udzielanie odpowiedzi. Nie wolno używać sformułowania: „Funkcja jest rosnąca dla x∈<0,+∞)”. Taki zapis dopuszcza domyślnie monotoniczność funkcji w jednym punkcie np. w x = 5, a wiemy, że monotoniczność jest rozpatrywana na przedziałach lub miedzy dwoma punktami. Prawidłowy zapis brzmi: „Funkcja jest rosnąca w przedziale <0,+∞)”.

Monotoniczność funkcji
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Monotoniczność, a funkcja kwadratowa

Spójrz na definicję monotoniczności funkcji. Żaden ze wzorów nie pasuje do funkcji kwadratowej. Nasza funkcja nie jest rosnąca, malejąca, ani stała.

Mamy tu przykład funkcji niemonotonicznej albo inaczej monotonicznej przedziałami.

Nasza funkcja w całej dziedzinie nie spełnia warunków określających monotoniczność funkcji. Zauważ, że jeśli będziemy funkcję rozpatrywać tylko w określonych przedziałach to w tychże przedziałach będzie już monotoniczna i będzie spełniała warunki określające monotoniczność funkcji.

Zadanie.

Zbadaj monotoniczność funkcji (tzn. określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała) y=x2.

Monotoniczność paraboli funkcji kwadratowej
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube
Bądź na bieżąco z Matfiz24.pl 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *


1 + = pięć

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>