Liczby trójkątne i wielokątne

UZYSKAJ DOSTĘP DO CAŁEJ STRONY MATFIZ24.PL

Jak zdefiniować liczby trójkątne? Najlepiej opisać je na podstawie rysunku:

Liczby trójkątne
  • Pierwszą liczbą trójkątną jest 1 – na rysunku to jedna kulka.
  • Druga liczba trójkątna to 3 – na ilustracji do 1 kulki dorysowujemy warstwę 2 kulek poniżej pierwszej kulki. Łącznie 3 kulki.
  • Trzecia liczba trójkątna to 6 – na prezentacji do istniejących już 6 kulek dodajemy warstwę, w której jest o 1 kulkę więcej niż w dotychczasowej najliczniejszej warstwie.
  • Takie rozumowanie kontynuujemy w nieskończoność.

Przykłady 20 pierwszych liczb trójkątnych

Numer liczby trójkątnej Liczba trójkątna
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55
11 66
12 78
13 91
14 105
15 120
16 136
17 153
18 171
19 190
20 210

Kolejna n-ta liczba trójkątna składa się z sumy n kolejnych liczb naturalnych: \(T_{n} =1+2+3+4+…+n\)

Wzór na n-tą liczbę trójkątną

Wzór na n-tą liczbę trójkątną ma postać: \(T _{n} = \frac{n\cdot\big(n+1\big)}{2}\)

Można również rozpisać wzór na n-tą liczbę trójkątną przy pomocy symbolu Newtona. Każda kolejna liczba trójkątna jest równa odpowiedniemu współczynnikowi newtonowskiemu: \(T_{n} =\binom{n+1}{2}\)

Niżej przedstawiam zadanie z konkursu kuratoryjnego dla gimnazjum, w którym wyprowadzam wzór na n-tą liczbę trójkątną oraz korzystam z uzyskanego zapisu do wyznaczenia wybranej liczby trójkątnej.

Zadanie 6. (0-3) Etap szkolny. Konkurs kuratoryjne 2013-14 dla gimnazjum. Województwo śląskie.

Każdą liczbę trójkątną można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: Tn=1+2+…+n

  1. Dziesiąta liczba trójkątna jest wielokrotnością liczby 11. PRAWDA/FAŁSZ
  2. Suma siódmej i ósmej liczby trójkątnej jest podzielna przez 16. PRAWDA/FAŁSZ
  3. Każdą liczbę trójkątną można zapisać w postaci \(T_{n}=\frac{n\big(n+1\big)}{2}\). PRAWDA/FAŁSZ
Zobacz na stronie
Zobacz na YouTube

Rozwiązanie:

III.

Zaczniemy od końca tak będzie łatwiej.

Wyprowadzenie algebraiczne wzoru na n-tą liczbę trójkątną:

W tym wyprowadzeniu należy dodać do siebie dwa ciągi sum n liczb naturalnych. Jeden ciąg zaczynamy rozpisywać od najmniejszej liczby, drugi od końca, od największej liczby. Dalej należy otrzymane ciągi dodać pisemnie, tak jak poniżej na rysunku. W efekcie otrzymasz wzór na 2Tn, który składa się z n wyrażeń (n+1). Dalej otrzymane równanie 2Tn=n(n+1) dzielisz stronami przez 2 i otrzymasz szukany wzór na n-tą liczbę trójkątną Tn.

Liczba trójkątna na olimpiadzie matematycznej

Graficzne wyprowadzenie wzoru na n-tą liczbę trójkątną:

Rozumowanie polega na zbudowaniu n-tej liczby trójkątnej z malutkich kwadracików jak na rysunku niżej i obliczeniu pola powstałej figury. Zauważ, maleńki kwadracik jest kwadratem jednostkowym, czyli ma bok o długości 1 i pole jego jest również równe 1. Kwadraciki tworzą strukturę podobną do schodków, w której jest n stopni. Chcąc obliczyć pole powstałej figury należy dorysować dwie linie, aby otrzymać kwadrat o boku n, a następnie dorysować przekątną. Pole pod przekątną jest trójkątem o podstawie n i wysokości n. Obliczamy to pole P=1/2n2.Teraz należy obliczyć n trójkącików wystających nad przekątną. Każdy z nich ma podstawę i wysokość równą 1. Zatem n takich trójkącików ma pole n⋅(1/2⋅1⋅1)=1/2n. Po dodaniu wszystkich pól otrzymujemy wzór na n-tą liczbę trójkątną.

Zadania z konkursów kuratoryjnych

II.

Etap szkolny konkursu kuratoryjnego - zadania

III.

Liczba trójkątna na konkursie I etap

Liczby wielokątne: trójkątne, czworokątne …

Liczby wielokątne przedstawione graficznie tworzymy przez dokładanie kolejnych warstw zbudowanych z kulek tak, aby za każdym razem nasza figura była coraz to większa i zachowywała dany kształt.

Liczby wielokątne: czworokątne, trójkątne, pięciokątne, sześciokątne
Liczby trójkątne i wielokątne
5 (100%) 1 vote

Bądź na bieżąco z MatFiz24.pl 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *